В сосуде вместимости \(V_1\) находится одноатомный газ при давлении \(P_1\) и температуре \(T_1\), а в сосуде вместимости \(V_2\) — одноатомный газ при давлении \(P_2\) и температуре \(T_2\). Какое давление и какая температура окажутся в этих сосудах после их соединения? Сосуды теплоизолированы.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Давление. Запишем закон сохранения энергии, пользуясь тем, что \(U=\dfrac32 PV\):
\[ \frac32P_1V_1+\frac32P_2V_2=\frac32P\,(V_1+V_2) \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;P=\frac{P_1V_1+P_2V_2}{V_1+V_2}\;} \]Замечательно, что тройки сократились: ответ для давления не зависит от того, одноатомный газ или нет, — лишь бы газы были одинаковой атомности. Давление получилось средним по объёму — как будто мы просто «размазали» энергию по всему сосуду.
Температура. Число молей до и после одно и то же:
\[ \nu=\nu_1+\nu_2=\frac{P_1V_1}{RT_1}+\frac{P_2V_2}{RT_2} . \]После соединения \(P(V_1+V_2)=\nu RT\), а слева стоит уже найденная нами величина \(P_1V_1+P_2V_2\). Значит,
\[ T=\frac{P_1V_1+P_2V_2}{\nu R} =\frac{P_1V_1+P_2V_2}{\dfrac{P_1V_1}{T_1}+\dfrac{P_2V_2}{T_2}} =\boxed{\;T_1T_2\,\frac{P_1V_1+P_2V_2}{P_1V_1T_2+P_2V_2T_1}\;} \]