Найдите теплоёмкость системы, состоящей из перекрытого поршнем сосуда с одноатомным газом (параметры газа \(P_0\), \(V_0\), \(T_0\)). Поршень удерживается пружиной. Слева от поршня вакуум. Если газ откачать, поршень соприкоснётся с правой стенкой сосуда, а пружина будет не деформирована. Теплоёмкостями сосуда, поршня и пружины пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Шаг 1. Связь давления и объёма. Поршень невесом и трения нет, поэтому сила давления газа уравновешена силой пружины:
\[ P\,S=k\,\Delta\ell , \]где \(\Delta\ell\) — деформация пружины, \(k\) — её жёсткость. Отсчитаем положение поршня от правой стенки: если газ занимает объём \(V\), то поршень отошёл на \(\Delta\ell=\dfrac VS\) (именно при \(V=0\) пружина не деформирована — это и сказано в условии). Значит,
\[ P=\frac{k}{S^2}\,V\qquad\Longrightarrow\qquad P\ \text{пропорционально}\ V . \]Шаг 2. Работа. График — отрезок прямой через начало координат, площадь под ним от \(V_1\) до \(V_2\) — разность двух треугольников:
\[ A=\frac{P_2V_2}{2}-\frac{P_1V_1}{2}=\frac{\Delta(PV)}{2}=\frac{\nu R\,\Delta T}{2} . \]Шаг 3. Внутренняя энергия. Газ одноатомный:
\[ \Delta U=\frac32\nu R\,\Delta T . \]Шаг 4. Теплоёмкость системы.
\[ C=\frac{Q}{\Delta T}=\frac{\Delta U+A}{\Delta T}=\frac32\nu R+\frac12\nu R=2\nu R . \]Осталось выразить \(\nu R\) через данные: \(\nu R=\dfrac{P_0V_0}{T_0}\), поэтому
\[ \boxed{\;C=\frac{2P_0V_0}{T_0}\;} \]