В вакуумном пространстве вертикально стоит цилиндрический сосуд, закрытый сверху подвижным поршнем массы \(M\). Внутри сосуда находится одноатомный газ при давлении \(P\). Внутреннее сечение цилиндра \(S\), а поршень находится на высоте \(H\) над его дном. Поршень отпустили. После непродолжительных колебаний он останавливается. На каком расстоянии от начального положения остановится поршень, если теплоёмкость газа при постоянном объёме много больше теплоёмкости поршня и цилиндра? Вся система теплоизолирована.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Условие остановки. Поршень стоит, снаружи пустота:
\[ P_{\text{кон}}=\frac{Mg}{S} . \](Чтобы поршень пошёл вниз, нужно \(PS\;{\lt}\;Mg\) — считаем, что это так.)
Баланс энергии. Пусть поршень опустился на \(x\). Тогда высота газового столба стала \(H-x\), а объём \(S(H-x)\). Потенциальная энергия поршня убыла на \(Mgx\); кинетическая энергия в конце равна нулю; наружу энергия уйти не могла. Значит,
\[ Mgx=\Delta U=\frac32\Bigl(P_{\text{кон}}\,S(H-x)-P\,SH\Bigr)=\frac32\Bigl(Mg(H-x)-PSH\Bigr). \]Решаем относительно \(x\):
\[ Mgx+\frac32Mgx=\frac32MgH-\frac32PSH , \] \[ \frac52Mg\,x=\frac32H\,(Mg-PS) , \] \[ \boxed{\;x=\frac{3H}{5}\left(1-\frac{PS}{Mg}\right)\;} \]Сравним с задачей 5.6.22, где та же система разгонялась. Там точка равновесия при изотермическом сжатии была на глубине \(H(1-k)\), \(k=\dfrac{PS}{Mg}\). Здесь поршень останавливается выше — на \(0{,}6H(1-k)\). И это правильно: газ успел разогреться за счёт затухания колебаний, поэтому при том же давлении \(Mg/S\) он занимает бо́льший объём. Проверим численно при \(k=0{,}5\): здесь \(x=0{,}3H\), конечный объём \(0{,}7SH\); изотермическое равновесие дало бы \(0{,}5SH\). Газ действительно «раздулся» от нагрева.