Газ вытекает адиабатически через малое отверстие из замкнутого сосуда в вакуумное пространство. Постоянное давление газа в сосуде поддерживается перемещением поршня. При этом температура газа в сосуде также не меняется, а его температура вне сосуда из-за адиабатического расширения снижается практически до 0 K. Оцените, пользуясь законом сохранения энергии, скорость газовой струи в вакууме. Температура газа в сосуде \(T\), молярная масса газа \(\mu\), молярная теплоёмкость газа при постоянном давлении \(c_P\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Приход энергии. Один моль, находясь в сосуде, обладал внутренней энергией
\[ U=c_V\,T . \]Чтобы вытолкнуть этот моль через отверстие, поршень должен «освободить» занимаемый им объём \(V\), проталкивая его при давлении \(P\). Работа поршня
\[ A_{\text{порш}}=P\,V=R\,T . \]Расход энергии. В струе газ летит в пустоте: он ничего не расталкивает (работы против внешнего давления нет) и остыл до нуля, так что внутренней энергии у него не осталось. Вся энергия — кинетическая, \(\dfrac{\mu v^2}{2}\) на моль.
Баланс:
\[ \frac{\mu v^2}{2}=c_VT+RT=(c_V+R)\,T=c_P\,T , \]где мы воспользовались соотношением Майера \(c_P=c_V+R\). Итак,
\[ \boxed{\;v=\sqrt{\frac{2c_PT}{\mu}}\;} \]Стоит запомнить смысл этой формулы: в кинетическую энергию струи переходит не внутренняя энергия газа, а его энтальпия \(H=U+PV=c_PT\). Работа проталкивания \(PV\) — обязательная и часто забываемая часть баланса.