Задача 5.7.2истечение смеси газов
Условие
Определите скорость адиабатического истечения смеси двухатомных газов с молярной массой \(\mu_1\) и \(\mu_2\). Число молекул первого газа в \(k\) раз больше числа молекул второго газа. Температура смеси \(T\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
ИдеяГлавное физическое соображение: в струе оба газа летят с одной и той же скоростью. Молекулы всё время сталкиваются друг с другом и не дают лёгкому компоненту «убежать» вперёд, а тяжёлому — отстать. Поэтому энергия считается для всей смеси разом, а масса — суммарная.
Возьмём порцию смеси, содержащую \(k\) молей первого газа и 1 моль второго (это как раз отношение чисел молекул \(k:1\)).
Масса порции:
\[ m=k\mu_1+\mu_2 . \]Энергия порции. По задаче 5.7.1 каждый моль отдаёт в струю свою энтальпию \(c_PT\). Оба газа двухатомны, значит \(c_P=\dfrac72R\) у каждого, а молей всего \(k+1\):
\[ E=(k+1)\,\frac72RT . \]Баланс:
\[ \frac{(k\mu_1+\mu_2)\,v^2}{2}=\frac72\,(k+1)RT \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;v=\sqrt{\frac{7(k+1)RT}{k\mu_1+\mu_2}}\;} \]Проверка. Если газы одинаковы, \(\mu_1=\mu_2=\mu\), формула даёт \(v=\sqrt{\dfrac{7(k+1)RT}{(k+1)\mu}}=\sqrt{\dfrac{7RT}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{2c_PT}{\mu}}\) — в точности результат задачи 5.7.1. Другой предел: \(k\to\infty\) (второго газа исчезающе мало) даёт \(v\to\sqrt{7RT/\mu_1}\) — скорость определяется только газом-носителем, а редкая примесь просто летит вместе со всеми. Именно на этом основан приём, о котором пойдёт речь в следующей задаче.
Ответ\(v=\sqrt{\dfrac{7(k+1)RT}{k\mu_1+\mu_2}}\).