В длинной гладкой теплоизолированной трубе находятся теплоизолированные поршни массы \(m_1\) и \(m_2\), между которыми в объёме \(V_0\) находится при давлении \(P_0\) одноатомный газ. Поршни отпускают. Определите их максимальные скорости, если масса газа много меньше массы каждого поршня.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Импульс. Вначале всё покоилось, внешних горизонтальных сил нет (труба гладкая), поэтому
\[ m_1v_1=m_2v_2 . \tag{1} \](Газ лёгкий, его импульсом пренебрегаем — об этом прямо сказано в условии.)
Энергия. Газ одноатомный, его начальная внутренняя энергия \(U_0=\dfrac32P_0V_0\). Скорости поршней растут, пока газ их подталкивает, то есть пока его давление не упало до нуля; в этот момент скорости максимальны, а вся энергия газа отдана поршням:
\[ \frac32P_0V_0=\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2} . \tag{2} \]Решаем систему. Из (1) \(v_2=\dfrac{m_1}{m_2}v_1\); подставим в (2):
\[ \frac32P_0V_0=\frac{m_1v_1^2}{2}\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)=\frac{m_1v_1^2}{2}\cdot\frac{m_1+m_2}{m_2} , \] \[ \boxed{\;v_1=\sqrt{\frac{3P_0V_0\,m_2}{m_1(m_1+m_2)}}\;},\qquad \boxed{\;v_2=\sqrt{\frac{3P_0V_0\,m_1}{m_2(m_1+m_2)}}\;} \](второе выражение получается из первого перестановкой индексов — так и должно быть, задача симметрична).