Савченко · Глава 5. Молекулярная физика · § 5.6. Первое начало термодинамики. Теплоёмкость

Савченко, задача 5.6.7

Задача 5.6.7поршни догоняют друг друга

Условие

В длинной теплоизолированной трубе между двумя одинаковыми поршнями массы \(m\) каждый находится 1 моль одноатомного газа при температуре \(T_0\). В начальный момент скорости поршней направлены в одну сторону и равны \(3v\) и \(v\). До какой максимальной температуры нагреется газ? Поршни тепло не проводят. Массой газа по сравнению с массой поршней пренебречь.

К задаче 5.6.7: оба поршня летят вправо, но с разными скоростями.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

ИдеяЗадача про догоняющие друг друга тела — это всегда задача про систему центра масс. Газ сжимается, пока левый поршень догоняет правый; в момент максимального сжатия их скорости сравниваются. Значит, в газ уходит ровно та часть кинетической энергии, которая связана с относительным движением поршней, — «энергия сближения».

Шаг 1. Когда сжатие максимально. Пока левый поршень движется быстрее правого, расстояние между ними уменьшается и газ сжимается. Как только скорости сравняются, объём перестаёт убывать — это и есть момент максимального сжатия и максимальной температуры.

Шаг 2. Общая скорость в этот момент. Внешних сил вдоль трубы нет, импульс сохраняется. Массы одинаковы, поэтому общая скорость — просто среднее арифметическое:

\[ u=\frac{3v+v}{2}=2v . \]

Шаг 3. Сколько энергии ушло в газ. Считаем кинетическую энергию до и после:

\[ E_{\text{нач}}=\frac{m(3v)^2}{2}+\frac{mv^2}{2}=\frac{9mv^2+mv^2}{2}=5mv^2,\qquad E_{\text{кон}}=\frac{2m\,(2v)^2}{2}=4mv^2 . \]

Разность — это и есть добавка к внутренней энергии газа:

\[ \Delta U=E_{\text{нач}}-E_{\text{кон}}=mv^2 . \]

Шаг 4. Температура. Для одного моля одноатомного газа \(\Delta U=\dfrac32R\,\Delta T\):

\[ \frac32R\,\Delta T=mv^2\qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;T_{\max}=T_0+\frac{2mv^2}{3R}\;} \]

Проверка. Тот же результат «в одну строчку» даёт формула для энергии относительного движения: \(E_{\text{отн}}=\dfrac{\mu\,(\Delta v)^2}{2}\), где приведённая масса \(\mu=\dfrac{m\cdot m}{m+m}=\dfrac m2\), а относительная скорость \(\Delta v=3v-v=2v\). Тогда \(E_{\text{отн}}=\dfrac{m}{4}\cdot4v^2=mv^2\) — совпало. Ещё одна проверка: если бы поршни летели с одинаковой скоростью, \(\Delta v=0\), газ вообще не сжимался бы и \(T_{\max}=T_0\) — формула это и показывает. Числа: \(m=0{,}1\) кг, \(v=10\) м/с дают \(\Delta T=\dfrac{2\cdot0{,}1\cdot100}{3\cdot8{,}31}\approx0{,}8\) К — нагрев крошечный, ведь моль газа «тяжелее» по теплоёмкости, чем кажется.

Ответ\(T_{\max}=T_0+\dfrac{2mv^2}{3R}\), где \(R\) — газовая постоянная.

Следующая задача 5.6.8 →