Задача 5.7.4скорость истечения из сопла ракеты
Условие
Определите максимальную скорость истечения газа из сопла ракеты, если тяга ракеты создаётся в результате реакций:
а) \(2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}=2\mathrm{H_2O}+483\) кДж/моль;
б) \(2\mathrm{Al}+\tfrac32\mathrm{O_2}=\mathrm{Al_2O_3}+1{,}65\) МДж/моль;
в) \(\mathrm{Be}+\tfrac12\mathrm{O_2}=\mathrm{BeO}+610\) кДж/моль.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
ИдеяМаксимум достигается, когда вся выделившаяся химическая энергия превращается в кинетическую энергию направленного движения продуктов, то есть когда газ расширяется в сопле до нулевой температуры. Поэтому просто делим энергию реакции на массу продуктов.
Общая формула: если в реакции выделяется энергия \(Q\), а масса образовавшихся продуктов \(m\), то
\[ \frac{m v^2}{2}=Q\qquad\Longrightarrow\qquad v=\sqrt{\frac{2Q}{m}} . \]Аккуратно считаем массу продуктов для реакции в том виде, как она записана.
| Продукт | \(m\) | \(Q\) | \(v=\sqrt{2Q/m}\) | |
|---|---|---|---|---|
| а | 2 моль \(\mathrm{H_2O}\) | \(2\cdot18=36\) г | 483 кДж | \(\sqrt{\dfrac{2\cdot4{,}83\cdot10^5}{0{,}036}}\approx5{,}2\) км/с |
| б | 1 моль \(\mathrm{Al_2O_3}\) | \(2\cdot27+3\cdot16=102\) г | 1,65 МДж | \(\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}65\cdot10^6}{0{,}102}}\approx5{,}7\) км/с |
| в | 1 моль \(\mathrm{BeO}\) | \(9+16=25\) г | 610 кДж | \(\sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}1\cdot10^5}{0{,}025}}\approx7{,}0\) км/с |
Видно, что выигрывает не та реакция, где выделяется больше энергии, а та, где больше энергия на килограмм продуктов. Бериллий побеждает именно из-за лёгкости оксида.
Проверка. Это оценка сверху, и реальные двигатели до неё не дотягивают. Во-первых, газ никогда не расширяется до \(T=0\): в сопле остаётся конечная температура, и часть энергии уносится «тепловой». Во-вторых, у пар «в» и «б» продукты (\(\mathrm{Al_2O_3}\), \(\mathrm{BeO}\)) при этих температурах конденсируются в капли и частицы — они не расширяются, как газ, и просто балласт. Поэтому у реальной пары водород—кислород скорость истечения \(\approx4{,}5\) км/с (85 % от нашей оценки), а алюминий добавляют в твёрдое топливо не ради удельного импульса, а ради плотности. Проверим порядок иначе: 483 кДж на 36 г — это \(13{,}4\) МДж/кг; \(v=\sqrt{2\cdot13{,}4\cdot10^6}=5{,}2\cdot10^3\) м/с ✓.
Ответа) \(v\approx5{,}2\) км/с; б) \(v\approx5{,}7\) км/с; в) \(v\approx7\) км/с.