Задача 5.7.5расход топлива при старте
Условие
Температура горения химического топлива в ракетном двигателе \(T=3000\) K, средняя молярная масса продуктов сгорания \(\mu=30\) г/моль. Истечение продуктов сгорания происходит адиабатически. Молярная теплоёмкость продуктов сгорания \(c_P=33{,}4\) Дж/(моль·K). Давление газа на выходе из ракеты много меньше давления газа в ракете. Определите минимальный массовый расход топлива, обеспечивающий старт с Земли ракеты массы \(M=1000\) т.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
ИдеяДве вещи: скорость истечения по формуле задачи 5.7.1 (давление на выходе много меньше, чем внутри, — значит, расширение практически полное, до нулевой температуры) и реактивная тяга \(F=\dot m\,v\). Ракета оторвётся от Земли, когда тяга сравняется с весом.
Скорость истечения.
\[ v=\sqrt{\frac{2c_PT}{\mu}}=\sqrt{\frac{2\cdot33{,}4\cdot3000}{0{,}030}}=\sqrt{6{,}68\cdot10^{6}}\approx2{,}6\cdot10^3\ \text{м/с}. \]Тяга. За время \(\Delta t\) двигатель выбрасывает массу \(\Delta m=\dot m\,\Delta t\) со скоростью \(v\); её импульс \(\Delta m\,v\) равен импульсу силы \(F\,\Delta t\), откуда
\[ F=\dot m\,v . \]Условие старта: \(F\ge Mg\), минимальный расход
\[ \dot m=\frac{Mg}{v}=\frac{10^6\cdot9{,}8}{2{,}6\cdot10^3}\approx3{,}8\cdot10^3\ \frac{\text{кг}}{\text{с}}=3{,}8\ \frac{\text{т}}{\text{с}} . \]Проверка. Сопоставим с реальностью. Первая ступень «Сатурна-5»: стартовая масса около 2900 т, расход топлива примерно 13 т/с, скорость истечения \(\approx2{,}6\) км/с — тяга \(13\cdot10^3\cdot2600\approx34\) МН при весе \(2900\cdot10^3\cdot9{,}8\approx28\) МН. Отношение тяги к весу \(1{,}2\), то есть расход примерно на 20 % выше «минимального» — иначе ракета висела бы на месте. Наша оценка для 1000 т даёт \(3{,}8\) т/с, что в пересчёте на 2900 т составило бы 11 т/с — тот же порядок. Заметим ещё, что при таком расходе тысячетонная ракета «сгорела» бы целиком за \(10^6/3800\approx260\) с — характерное время работы первой ступени как раз около этого.
Ответ\(\dot m=\dfrac{Mg}{\sqrt{2c_PT/\mu}}\approx3{,}8\) т/с.