Задача 5.7.6истечение при заданном давлении на выходе
Условие
Газ адиабатически вытекает из сосуда через трубку. Температура газа в сосуде \(T_1\), давление \(P_1\). На выходе из трубки давление газа \(P_2\). Определите скорость газа на выходе из трубки. Молярная масса газа \(\mu\), показатель адиабаты \(\gamma\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
ИдеяТеперь газ расширяется не в пустоту, а до конечного давления \(P_2\), поэтому он остывает не до нуля, а до температуры \(T_2\), которую даёт уравнение адиабаты. Энергетический баланс тот же, что в задаче 5.7.1, только в струе остаётся ненулевая энтальпия: в кинетическую энергию переходит убыль энтальпии.
Баланс энергии для одного моля (сравните с задачей 5.7.1, где было \(T_2=0\)):
\[ \frac{\mu v^2}{2}=c_P\,(T_1-T_2). \]Конечная температура. Адиабата в переменных \(P,T\):
\[ \frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} . \]Теплоёмкость через показатель адиабаты: \(c_P=\dfrac{\gamma R}{\gamma-1}\). Подставляем:
\[ \frac{\mu v^2}{2}=\frac{\gamma R}{\gamma-1}\,T_1\left[1-\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\right] , \] \[ \boxed{\;v=\left\{\frac{2\gamma RT_1}{\mu(\gamma-1)}\left[1-\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\right]\right\}^{1/2}\;} \]Проверка. Два предела. Если \(P_2=P_1\) (ничего не течёт) — квадратная скобка равна нулю, \(v=0\) ✓. Если \(P_2\to0\) (истечение в вакуум) — скобка стремится к единице и
\[ v\to\sqrt{\frac{2\gamma RT_1}{\mu(\gamma-1)}}=\sqrt{\frac{2c_PT_1}{\mu}} , \]
то есть ровно ответ задачи 5.7.1 ✓. Эта формула называется формулой Сен-Венана — Ванцеля и используется при расчёте всех сопел, от паровых турбин до пульверизатора.
Ответ\(v=\left\{\dfrac{2\gamma RT_1}{\mu(\gamma-1)}\left[1-\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}\right]\right\}^{1/2}\).