Задача 5.7.7струя гелия
Условие
Из баллона, содержащего гелий при давлении 1 МПа, вытекает струя, давление газа в которой 0,1 МПа. Температура газа в баллоне 300 K. Определите температуру и скорость гелия в струе.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
ИдеяПрямая подстановка в формулы предыдущей задачи. Гелий одноатомен: \(\gamma=\dfrac53\), \(\dfrac{\gamma-1}{\gamma}=\dfrac25\), \(c_P=\dfrac52R\), \(\mu=4\) г/моль.
Температура в струе.
\[ T_2=T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{2/5}=300\cdot\left(\frac{0{,}1}{1}\right)^{0{,}4}=300\cdot10^{-0{,}4}=300\cdot0{,}398\approx120\ \text{К}. \]Скорость.
\[ \frac{\mu v^2}{2}=c_P(T_1-T_2)=\frac52R\,(300-120)=2{,}5\cdot8{,}31\cdot180\approx3740\ \frac{\text{Дж}}{\text{моль}} , \] \[ v=\sqrt{\frac{2\cdot3740}{0{,}004}}=\sqrt{1{,}87\cdot10^6}\approx1{,}37\cdot10^3\ \text{м/с}. \]Проверка. Сравним с предельной скоростью истечения этого же гелия в вакуум: \(v_{\max}=\sqrt{5RT_1/\mu}=\sqrt{5\cdot8{,}31\cdot300/0{,}004}=\sqrt{3{,}12\cdot10^6}\approx1770\) м/с. Наши 1370 м/с — это \(77\,\%\) от предела, и такое соотношение соответствует «недорасширению» до 0,1 МПа: остаточная энтальпия \(T_2/T_1=0{,}4\) от начальной, а скорость \(\propto\sqrt{1-0{,}4}=0{,}775\) ✓. Скорость звука в струе \(\sqrt{\gamma RT_2/\mu}=\sqrt{1{,}67\cdot8{,}31\cdot120/0{,}004}\approx645\) м/с, то есть струя сверхзвуковая (число Маха \(\approx2{,}1\)) — как и должно быть, ведь для \(P_1/P_2=10\) обычное сужающееся отверстие «запирается», и такую скорость даёт лишь расширяющееся сопло Лаваля.
Ответ\(T\approx120\) К, \(\ v\approx1370\) м/с.