Задача 5.7.8обратная задача: найти давление в баллоне
Условие
Воздух, сжатый в большом баллоне при температуре \(0\ {}^\circ\)C, вытекает при атмосферном давлении через трубку со скоростью 400 м/с. Найдите температуру воздуха в струе. Чему равно давление воздуха в баллоне?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
ИдеяЗадача «наоборот»: по скорости находим охлаждение, а по охлаждению — во сколько раз пришлось сбросить давление. Воздух двухатомен: \(\gamma=1{,}4\), \(c_P=\dfrac72R=29{,}1\) Дж/(моль·К), \(\mu=0{,}029\) кг/моль.
Температура струи. Из \(\dfrac{\mu v^2}{2}=c_P(T_1-T_2)\):
\[ T_1-T_2=\frac{\mu v^2}{2c_P}=\frac{0{,}029\cdot400^2}{2\cdot29{,}1}=\frac{4640}{58{,}2}\approx80\ \text{К}, \] \[ T_2=273-80=193\ \text{К}\;(\approx-80\ {}^\circ\text{C}). \]Давление в баллоне. Адиабата: \(\dfrac{T_1}{T_2}=\left(\dfrac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\), то есть
\[ P_1=P_2\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}=10^5\cdot\left(\frac{273}{193}\right)^{3{,}5}=10^5\cdot1{,}414^{3{,}5}. \]Считаем степень: \(\ln1{,}414=0{,}3466\), \(3{,}5\cdot0{,}3466=1{,}213\), \(e^{1{,}213}=3{,}36\). Значит
\[ P_1\approx3{,}4\cdot10^5\ \text{Па}\approx0{,}33\ \text{МПа}. \]Проверка. Пройдём путь в обратную сторону: при \(P_1/P_2=3{,}36\) имеем \(T_2=273\cdot3{,}36^{-2/7}=273\cdot e^{-0{,}286\cdot1{,}212}=273\cdot e^{-0{,}347}=273\cdot0{,}707=193\) К ✓, и тогда \(v=\sqrt{2\cdot29{,}1\cdot80/0{,}029}=\sqrt{1{,}605\cdot10^5}\approx400\) м/с ✓. Заодно полезное наблюдение: скорость звука в струе \(\sqrt{1{,}4\cdot8{,}31\cdot193/0{,}029}\approx278\) м/с, то есть поток сверхзвуковой (M \(\approx1{,}44\)). Отсюда, кстати, и знаменитый «холод» из пневмоинструмента: \(-80\ {}^\circ\)C в струе — уже вполне достаточно, чтобы намораживать иней на выхлопе.
Ответ\(T\approx193\) К; \(\ P\approx0{,}33\) МПа.