Газ при давлении \(P\) и температуре \(T\) протекает со скоростью \(v\) через гладкую трубку сечения \(S\). Когда газ проходит сквозь проволочную сетку, перекрывающую трубку и оказывающую пренебрежимо малое сопротивление потоку, он нагревается. Приобретаемая газом мощность равна \(q\). Определите скорость газа за проволочной сеткой. Чему равна сила давления газа на сетку? Молярная масса газа \(\mu\), показатель адиабаты \(\gamma\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обозначим величины за сеткой штрихом. Плотность газа перед сеткой
\[ \rho=\frac{P\mu}{RT} . \]1. Сохранение массы. Сечение всюду одно и то же, поэтому
\[ \rho v=\rho' v' . \tag{1} \]2. Постоянство давления. \(P'=P\). Вместе с (1) и уравнением состояния это сразу даёт связь температур:
\[ \frac{T'}{T}=\frac{P'/\rho'}{P/\rho}=\frac{\rho}{\rho'}=\frac{v'}{v} . \tag{2} \]Газ нагрелся ровно во столько раз, во сколько разогнался. Это понятно и без формул: при постоянном давлении объём растёт пропорционально температуре, а раз труба не расширяется — растёт скорость.
3. Сохранение энергии. Через сетку в секунду проходит масса \(\dot m=\rho v S\). На каждый килограмм приходится добавка энергии \(q/\dot m\). Удельная энтальпия газа
\[ h=\frac{c_PT}{\mu}=\frac{\gamma}{\gamma-1}\cdot\frac{RT}{\mu}=\frac{\gamma}{\gamma-1}\cdot\frac{P}{\rho} , \]и баланс «энтальпия плюс кинетическая энергия» для установившегося потока даёт
\[ h'+\frac{v'^2}{2}=h+\frac{v^2}{2}+\frac{q}{\rho vS} . \tag{3} \]По (2) \(h'=h\,\dfrac{v'}{v}\). Обозначим \(w=\dfrac{v'}{v}\) и поделим (3) на \(v^2\):
\[ \beta w+\frac{w^2}{2}=\beta+\frac12+\tilde q,\qquad \beta\equiv\frac{h}{v^2}=\frac{\gamma P}{(\gamma-1)\rho v^2},\quad \tilde q\equiv\frac{q}{\rho Sv^3} . \]Это квадратное уравнение \(w^2+2\beta w-(2\beta+1+2\tilde q)=0\); его корень, переходящий в \(w=1\) при \(\tilde q=0\), равен
\[ \boxed{\;\frac{v'}{v}=\sqrt{(\beta+1)^2+2\tilde q}-\beta\;},\qquad \beta=\frac{\gamma P}{(\gamma-1)\rho v^2},\quad \tilde q=\frac{q}{\rho Sv^3} . \]В «размерном» виде это то же самое:
\[ v'=\frac{1}{v}\left[\sqrt{\bigl(h+v^2\bigr)^2+\frac{2vq}{\rho S}}-h\right],\qquad h=\frac{\gamma RT}{\mu(\gamma-1)} . \]4. Сила. Секундный импульс потока вырос с \(\dot m v\) до \(\dot m v'\), а давления по обе стороны сетки одинаковы и взаимно уравновешиваются. Значит, недостающий импульс газу передала именно сетка:
\[ F=\dot m\,(v'-v)=\boxed{\;\rho S v\,(v'-v)\;},\qquad \rho=\frac{P\mu}{RT} . \]По третьему закону Ньютона газ давит на сетку с такой же по модулю силой, направленной против потока: сетку сносит назад.
Числовой пример: воздух, \(P=10^5\) Па, \(T=300\) К (\(\rho=1{,}16\) кг/м\(^3\)), \(v=173\) м/с, \(S=100\) см\(^2\), \(q=6\) кВт. Тогда \(\dot m=\rho vS=2{,}0\) кг/с, \(h=3{,}0\cdot10^5\) м\(^2\)/с\(^2\), \(\beta=10{,}0\), \(\tilde q=0{,}10\); \(w=\sqrt{121{,}2}-10=1{,}009\), то есть \(v'=175\) м/с и \(F=2{,}0\cdot1{,}6\approx3{,}2\) Н. Проверим по температуре: \(T'=Tw=302{,}7\) К, прирост энтальпии \(\dot m c_P\Delta T/\mu=2{,}0\cdot29{,}1\cdot2{,}7/0{,}029\approx5{,}4\) кДж/с, прирост кинетической энергии \(\dot m(v'^2-v^2)/2\approx0{,}6\) кДж/с; сумма \(6{,}0\) кВт \(=q\) ✓.
Расхождение с задачником. В ответах приведена формула \[ v'=\frac{v}{1+\gamma}\left[1-\frac{P}{\rho v^2}+\sqrt{\left(\gamma+\frac{P}{\rho v^2}\right)^{2}-\frac{2(\gamma^2-1)q}{\rho Sv^3}}\right] . \] При \(q=0\) она правильно даёт \(v'=v\), но при \(q\;{\gt}\;0\) подкоренное выражение уменьшается, то есть газ, по этой формуле, от нагрева замедляется. Это противоречит законам сохранения: для тех же чисел (\(\gamma=1{,}4\), \(P/\rho v^2=2{,}86\), \(q/\rho Sv^3=0{,}1\)) она даёт \(v'/v=0{,}991\), и такая тройка \((v',\rho',P')\) не удовлетворяет ни уравнению энергии, ни уравнению импульса. Знак «минус» под корнем, по-видимому, опечатка. Любопытно, что множитель \(1/(1+\gamma)\) и комбинация \(2(\gamma^2-1)q/(\rho Sv^3)\) отвечают другой модели — когда сетка вообще не передаёт газу импульс, и вместо \(P'=P\) выполняется \(P+\rho v^2=P'+\rho'v'^2\). В этой модели аккуратный расчёт даёт \[ \frac{v'}{v}=\frac{\gamma\left(1+\dfrac{P}{\rho v^2}\right)-\sqrt{\left(\dfrac{\gamma P}{\rho v^2}-1\right)^{2}-\dfrac{2(\gamma^2-1)q}{\rho Sv^3}}}{\gamma+1} , \] что при тех же числах даёт \(v'/v=1{,}013\) — снова ускорение. Но тогда сила на сетку равна нулю, а перепад давления \(P-P'=\rho v(v'-v)\); формула задачника для силы отвечает как раз этой разности. Так что качественный вывод («газ разгоняется, сетку сносит назад») в обеих моделях один, а печатная формула для \(v'\) требует исправления знака.
\(F=\rho Sv\,(v'-v)\) — сила направлена по потоку и приложена к газу, на сетку газ действует с такой же силой против потока.