Разделим сосуд вместимости \(V\) на две одинаковые части 1 и 2. Пусть в этом сосуде движется одна молекула. Будем наблюдать за ней в течение времени \(\tau\). В среднем половину этого времени молекула будет находиться в части 1 сосуда, а половину — в части 2.
а. В течение какого времени в части 1 вместе с первой будет находиться вторая молекула, если в сосуде движутся две молекулы?
б. В сосуде движутся три молекулы. В течение какого времени они будут находиться одновременно в части 1?
в. В сосуде движутся \(N\) молекул. В течение какого времени они будут находиться одновременно в части 1?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Начнём с одной молекулы — это уже сказано в условии. За длинное время \(\tau\) она столько же гуляет слева, сколько справа:
\[ t_1=\frac{\tau}{2}. \] Это не потому, что она «честно делит время», а потому что половины одинаковы, и нет причин предпочесть одну другой.а. Две молекулы. Смотрим на первую. Половину времени \(\tau\) она сидит в части 1. Но нам нужно, чтобы в эти же моменты там была и вторая. Вторая молекула ничего не знает про первую: из того времени, когда первая уже слева, вторая проводит слева опять только половину. Значит, \[ t_2=\frac12\cdot\frac\tau2=\frac\tau4. \]
Можно сказать иначе. Представим длинную киноплёнку из кадров. В каждом кадре первая молекула с вероятностью \(1/2\) слева, вторая — независимо тоже с вероятностью \(1/2\). Кадры, где обе слева, составляют долю \(1/4\).
б. Три молекулы. Третья снова независима и снова даёт множитель \(1/2\): \[ t_3=\frac12\cdot\frac\tau4=\frac\tau8. \]
в. \(N\) молекул. Каждый новый жилец умножает долю времени на \(1/2\): \[ t_N=\frac{\tau}{2^N}. \]
Для двадцати молекул \(2^{20}\approx 10^6\): за сутки все двадцать окажутся слева примерно на \(0{,}08\) с — уже не «никогда», но и не заметно глазу. Степень \(2^N\) объясняет, почему термодинамика начинается с \(N\sim 10^{23}\), а не с десятка шариков: при моле газа \(\tau/2^N\) меньше планковского времени на сотни порядков. Независимость здесь обязательна: если бы молекулы держались кучей, множители \(1/2\) не перемножались бы.