Долю времени, в течение которого частицы находятся в каком-либо состоянии, часто называют вероятностью этого состояния.
а. В сосуде находятся две молекулы. Чему равна вероятность того, что обе молекулы будут находиться в левой половине сосуда? в любой из половин?
б. Чему равна вероятность того, что молекулы будут находиться в разных половинах сосуда?
в. В сосуде находятся три молекулы. Чему равна вероятность того, что две молекулы будут находиться в левой половине сосуда и что в левой половине сосуда не будет ни одной молекулы?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
У двух молекул ровно \(2^2=4\) картинки: обе слева (ЛЛ), первая слева и вторая справа (ЛП), наоборот (ПЛ), обе справа (ПП). Ни одна не лучше другой, у каждой вероятность \(1/4\).
а. Обе слева — только ЛЛ, поэтому \(p_{\text{ЛЛ}}=1/4\). «Обе в любой одной половине» — это ЛЛ или ПП, два кадра из четырёх: \(p=1/2\).
б. В разных половинах — ЛП и ПЛ, снова два кадра: \(p=1/2\).
в. Три молекулы — уже \(2^3=8\) картинок. Ровно две слева: надо выбрать, какая из трёх будет справа. Способов \(C_3^2=3\) (или \(C_3^1=3\) — всё равно). Значит \(p_2=3/8\). Ни одной слева — все три справа, один кадр из восьми: \(p_0=1/8\).
Четыре кадра — полный список, а не картинка «для наглядности». Склейка ЛП и ПЛ в один «неразличимый» исход дала бы «разные половины» вес \(1/3\) вместо \(1/2\) — типичная школьная ловушка. Для трёх молекул бином уже читается на пальцах: \(1+3+3+1=8\). При \(N=10\) самое вероятное — ровно пять слева (\(p\approx 0{,}25\)), а «все слева» — уже тысячная доля, как в 5.8.1.