В сосуде вместимостью \(V_0\) находятся \(N\) молекул.
а. Определите вероятность того, что в объёме \(V\), который представляет собой часть объёма \(V_0\), не будет ни одной молекулы.
б. Чему должен быть равен этот объём, чтобы вероятность такого события была близка к \(10^{-2}\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Одна молекула не попадает в \(V\) с вероятностью \(1-V/V_0\). Молекулы независимы, поэтому \[ p=\Bigl(1-\frac{V}{V_0}\Bigr)^N. \]
б. Хотим \(p\approx10^{-2}\): \[ \Bigl(1-\frac{V}{V_0}\Bigr)^N=10^{-2} \quad\Longrightarrow\quad 1-\frac{V}{V_0}=10^{-2/N} \quad\Longrightarrow\quad V=V_0\bigl(1-10^{-2/N}\bigr). \]
При \(N=10^{23}\) кусок с \(p=10^{-2}\) имеет объём \(V\approx 4{,}6\,V_0/N\sim 10^{-28}\) м\(^3\) — это несколько средних молекулярных клеток. Пустой литр в комнате имел бы \(p=(1-10^{-3})^{10^{25}}\sim e^{-10^{22}}\) и не случится ни разу. Формула \((1-V/V_0)^N\) потому и работает, что каждая молекула выбирает место независимо: корреляции появились бы только в плотном газе, где молекулы уже мешают друг другу.