Оцените вероятность того, что плотность воздуха в объёме \(0{,}1\) мм\(^3\) какого-нибудь участка вашей комнаты будет в два раза больше, чем обычная плотность. Каким должен быть объём этого участка, чтобы эта вероятность была достаточно велика?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Концентрация воздуха при комнатных условиях \[ n\approx\frac{P}{kT}\approx\frac{10^5}{1{,}4\cdot10^{-23}\cdot300}\approx2{,}5\cdot10^{25}\ \text{м}^{-3}. \] Объём \(V=0{,}1\) мм\(^3=10^{-10}\) м\(^3\), среднее число молекул \[ N_0=nV\sim 2{,}5\cdot10^{15}. \]
Вероятность загнать в этот объём \(2N_0\) молекул вместо \(N_0\) оценивают через энтропию смешения (или формулу Стирлинга для бинома). Относительно равновесия \[ p\sim\exp\bigl[-N_0(2\ln2-1)\bigr]\sim\exp(-0{,}4\,N_0)\sim10^{-10^{15}}. \] Это не «маленькая» вероятность. Это ноль для всех практических целей: такое не случится, пока существует Вселенная.
Чтобы флуктуация плотности стала сравнима с самой плотностью, нужно \(N_0\sim 1\ldots 10\), то есть \[ V\sim\frac{1\ldots10}{n}\sim10^{-25}\ldots10^{-24}\ \text{м}^3. \] В привычных единицах это \(10^{-19}\ldots10^{-18}\) см\(^3\). В ответах задачника указан соседний порядок \(10^{-18}\ldots10^{-17}\) см\(^3\) — объём, где сидит уже несколько десятков молекул и удвоение ещё не совсем фантастика.
Объём \(0{,}1\) мм\(^3\) — это кубик со стороной \(0{,}46\) мм, в нём \(2{,}5\cdot 10^{15}\) молекул. Удвоение плотности требует флуктуации на \(10^{15}\sigma\), где \(\sigma=\sqrt{N_0}\) — как выиграть орла \(10^{15}\) раз подряд. Реалистичный масштаб удвоения — кубик \(\sim 3\) нм, как раз клетка броуновской пылинки: там \(N\sim 10\) и плотность уже «дышит» на свою величину.