Траектория атома, упруго отражённого от стенок куба, размеры которого \(a\times a\times a\), — квадрат. Скорость атома \(v\).
а. С какой средней скоростью станет перемещаться по каждой стенке место удара, если изменить угол падения в плоскости квадрата на \(\Delta\ll 1\)? При каких значениях \(\Delta\) траектория атома окажется замкнутой? не замкнутой? Определите расстояние между соседними параллельными участками траекторий в первом и во втором случаях.
б. Почему можно считать, что траектория атома обычно не замкнута? Чему равна вероятность обнаружить атом в квадрате площади \(S\), расположенном в плоскости, по которой движется атом в случае незамкнутой траектории?
в*. Как будет двигаться атом, если изменить угол его падения перпендикулярно плоскости квадрата на \(\Delta\ll 1\)? Чему будет равна вероятность обнаружить такой атом в области внутри куба, объём которой равен \(V\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Исходный угол падения \(\pi/4\) (диагональ квадрата). После сдвига \(\alpha=\pi/4+\Delta\). В развёртке атом летит по прямой со скоростью \(v\). Место удара ползёт вдоль стенки: за время пролёта между параллельными гранями \(a/(v\cos\alpha)\) точка удара смещается на \(a\operatorname{tg}\alpha-a\) относительно старой диагонали. При малом \(\Delta\) \[ v'\approx v\Delta\sqrt{2}. \] (Множитель \(\sqrt{2}\) — из геометрии квадрата: исходное движение идёт по диагонали.)
Траектория замкнётся, если прямая в развёртке снова попадёт в эквивалентную точку решётки, то есть если \[ \operatorname{tg}\Bigl(\frac\pi4+\Delta\Bigr)-1=\frac{k}{n} \] для целых взаимно простых \(k,n\). Если это число иррационально — траектория не замыкается и всюду плотна в квадрате.
Расстояние между соседними параллельными звеньями: при рациональном угле (замкнутая обмотка из \(k\) семейств) \(h_1\approx 2a\Delta/k\); при иррациональном обмотка плотная, \(h_2=0\).
б. Рациональных чисел «мало» (их счётное множество), иррациональных — «почти все». Типичный атом рисует незамкнутую плотную намотку и равномерно закрашивает квадрат площади \(a^2\). Вероятность застать его в кусочке площади \(S\) \[ p=\frac{S}{a^2}. \]
в. Сдвиг угла из плоскости делает движение трёхмерным. Развёртка — прямая в пространстве, замощённом кубами. При иррациональных направляющих косинусах траектория всюду плотна в кубе, и \[ p=\frac{V}{a^3}. \]
Тепловая скорость \(v\sim 300\) м/с и сдвиг \(\Delta=0{,}01\) дают ползучесть следа \(v'\sim 4\) м/с: за миллисекунду пятно удара уйдёт на миллиметры. Замкнутая орбита требует рационального \(k/n\); среди углов рациональных «нуль меры», поэтому типичный атом закрашивает квадрат равномерно. Отсюда \(p=S/a^2\) — не гипотеза, а следствие всюду плотной намотки.
б) типичная траектория незамкнута; \(p=S/a^2\).
в) \(p=V/a^3\).