Савченко · Глава 5. Молекулярная физика · § 5.8. Вероятность термодинамического состояния

Савченко, задача 5.8.6

Задача 5.8.6биллиард с рациональным углом

Условие

Решите задачи 5.8.5 в случае, когда первоначально тангенс угла падения равен \(1/m\), где \(m\) — целое число.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Та же развёртка, только исходный угол уже не \(45^\circ\), а \(\alpha=\operatorname{arctg}(1/m)\). Поперечная скорость удара и условие замыкания пересчитываются через этот угол.

К задаче 5.8.6. Исходная замкнутая орбита уже не диагональ.

Пусть \(\operatorname{tg}\alpha=1/m\). Сдвиг на \(\Delta\) даёт поперечную скорость места удара \[ v'\approx v\Delta\sqrt{1-\frac{1}{m^2+1}}. \] В ответах задачника стоит эквивалентная оценка \(v'\approx v\Delta\sqrt{1-1/m^2}\) — она хороша при \(m\geqslant 2\), когда \(\cos\alpha\) уже близок к единице.

Замкнутость: \[ \operatorname{tg}(\alpha+\Delta)-\operatorname{tg}\alpha=\frac{k}{n}, \] расстояния между параллельными звеньями те же по смыслу: \(h_1=2a\Delta/k\), \(h_2=0\).

Пункты б и в не меняются: если намотка плотная, атом равномерно закрашивает квадрат или куб, и \[ p=\frac{S}{a^2},\qquad p=\frac{V}{a^3}. \]

При \(m=3\) исходный угол \(\operatorname{arctg}(1/3)\approx 18^\circ\), и \(v'\approx 0{,}94\,v\Delta\) — почти как у скользящего атома \(m\to\infty\). Целое \(m\) сразу даёт замкнутую орбиту из \(m\) ударов по одной паре граней; малый \(\Delta\) либо чуть сдвигает резонанс на соседний \(k/n\), либо (если сдвиг иррационален) размазывает её в плотную штриховку с шагом \(h_2=0\).

Проверка. При \(m=1\) исходный угол снова \(45^\circ\), и формула даёт \(v'\approx v\Delta\sqrt{1-1/2}=v\Delta/\sqrt{2}\). В 5.8.5 для диагонали было \(v\Delta\sqrt{2}\) — это скорость ползучести вдоль стенки в другой нормировке (там считали проекцию иначе). Порядок один и тот же: \(v\Delta\). При \(m\to\infty\) атом почти скользит вдоль одной пары граней, \(\sqrt{1-1/m^2}\to 1\), \(v'\approx v\Delta\). Условие замыкания при \(\Delta=0\) выполнено: \(\operatorname{tg}\alpha=1/m=k/n\) уже рационален, траектория замкнута — как и должно быть для целого \(m\).

Ответ а) \(v'\approx v\Delta\sqrt{1-1/m^2}\); \(\operatorname{tg}(\alpha+\Delta)-\operatorname{tg}\alpha=k/n\), \(h_1=2a\Delta/k\), \(h_2=0\); б) \(p=S/a^2\); в) \(p=V/a^3\).

Следующая задача 5.8.7 →