Атомы, имеющие одинаковую по модулю скорость \(v\), одновременно влетают в цилиндр через небольшое отверстие, расположенное в центре дна цилиндра. Направления скоростей атомов распределены равномерно внутри конуса с небольшим углом \(\Delta\) при вершине. Конус скоростей соосен с цилиндром. Радиус цилиндра \(R\), его высота \(H\). Оцените время равномерного заполнения атомами пространства внутри цилиндра в случае упругого отражения атомов от его стенки и в случае, когда через время \(\tau\gg R/v,\,H/v\) после попадания на стенку атом уходит внутрь цилиндра под любым углом к его стенке со скоростью \(v\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Упругие стенки. Поперечная скорость на краю конуса \(v_\perp\sim v\Delta\). Чтобы размазаться по радиусу \(R\), нужно время \[ t\sim\frac{R}{v\Delta}. \] То же в развёртке: после каждого отражения пучок остаётся конусом раствора \(\Delta\), и сечение заполнится, когда длина пути станет \(\sim R/\Delta\).
Десорбция через время \(\tau\). Атом забывает, откуда прилетел, и стартует со стенки под случайным углом. Один «шаг» длится \(\tau\) (полёты \(R/v\) и \(H/v\) уже короче \(\tau\)). Сколько шагов нужно — зависит от формы цилиндра:
- высокий цилиндр \(H\gg R\): вдоль оси надо \(\sim H/R\) перелётов, \(t'\sim\tau H/R\);
- широкий и низкий \(H\ll R\): надо замазать радиус, \(t'\sim\tau R/H\);
- когда \(H\sim R\), хватает нескольких стартов, \(t'\sim\tau\).
Цилиндр \(R=5\) см, \(v=300\) м/с, \(\Delta=0{,}01\): упругое замазывание \(t\sim R/(v\Delta)\approx 17\) мс — пучок ещё помнит конус. При залипании \(\tau=1\) с и \(H=5R\) уже \(t'\sim 5\) с: память стёрта, остался случайный обход. Предел \(\Delta\to 0\) бесконечно разводит две картины — узкий пучок без рассеяния никогда не заполнит сечение.