При переходе частиц из области 1 в область 2 на границе этих областей над частицами совершается работа \(A\). Докажите, что вероятность обнаружить в объёме \(\Delta V\) частицу, имеющую скорость в интервале \(\Delta v\), везде одинакова, если частицы в области 1 равномерно распределены по скоростям.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В области 1 распределение однородно: в ячейке \(\Delta V_1\Delta v_1\) сидит \(nf\,\Delta V_1\Delta v_1\) частиц, и плотность \(f\) постоянна. Через площадку \(\sigma\) границы за время \(dt\) из интервала \(\Delta v_1\) проходит \[ dN=nf\,\Delta v_1\cdot\sigma\,v_{n1}\,dt. \]
На барьере каждая частица получает энергию \(A\), поэтому \[ \frac{m v_{n2}^2}{2}=\frac{m v_{n1}^2}{2}+A. \] Дифференцируем: \(v_{n2}\,\Delta v_{n2}=v_{n1}\,\Delta v_{n1}\). Поперечные компоненты скорости не меняются, значит \(v_{n2}\Delta v_2=v_{n1}\Delta v_1\).
Те же \(dN\) частиц в области 2 занимают объём \(\sigma v_{n2}\,dt\) и интервал \(\Delta v_2\). Их концентрация в фазовой ячейке \[ \frac{dN}{\sigma v_{n2}\,dt\cdot\Delta v_2}=nf\cdot\frac{v_{n1}\Delta v_1}{v_{n2}\Delta v_2}=nf. \] То есть \(f_2=f_1\): вероятность найти частицу в любой ячейке \(\Delta V\Delta v\) одна и та же по обе стороны барьера. (В область 2 попадают только те, у кого \(mv_{n1}^2/2>A\); для них утверждение верно.)
Барьер высоты \(A=kT\) разгоняет нормаль до \(v_{n2}=\sqrt{v_{n1}^2+2kT/m}\). Интервал \(\Delta v_n\) сжимается ровно во столько же раз, во сколько растёт скорость, поэтому ячейка \(\Delta V\,\Delta v\) не меняет объёма. При \(A\gg kT\) через порог проходит хвост Максвелла \(e^{-A/kT}\), но у прошедших фазовая плотность та же — барьер сортирует, а не сжимает.