Докажите, что на полупроницаемую перегородку, находящуюся в разбавленном растворе, действует при температуре \(T\) давление \(P=nkT\), где \(n\) — число молекул растворённого вещества в единице объёма раствора. Почему эта формула верна только для разбавленного раствора?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Слева — чистый растворитель, справа — раствор с концентрацией \(n\). Сдвинем перегородку на \(dx\) так, чтобы объём раствора вырос на \(S\,dx\). Растворитель перетекает свободно, а «газ» примеси изотермически расширяется. Работа против силы \(F\) на перегородке \[ F\,dx=P_{\text{осм}}S\,dx. \]
Для разбавленного раствора примесь — идеальный газ из \(N=nV\) частиц, \(P_{\text{осм}}V=NkT\), откуда \[ P_{\text{осм}}=nkT. \]
Это закон Вант-Гоффа. Он верен только для разбавленного раствора: мы пренебрегли взаимодействием молекул растворённого вещества друг с другом и тем, что растворитель сам занимает объём. При большой концентрации появляются вириальные поправки.
Сахар \(0{,}1\) моль/л даёт \(n=6\cdot 10^{25}\) м\(^{-3}\) и \(P=nkT\approx 2{,}4\cdot 10^5\) Па — почти 2,4 атмосферы, уже ломает слабую мембрану. В концентрированном растворе молекулы сахара чувствуют друг друга, и вместо \(nkT\) появляется ряд \(nkT(1+B n+\cdots)\). Разбавленность — условие, при котором примесь ещё «не знает» про соседей.