В пространстве объёма \(2V_0\) движется \(2N\) молекул. Во сколько раз вероятность обнаружить \(N\) молекул в области объёма \(V_0-V\) меньше вероятности обнаружить \(N\) молекул во всём пространстве \(V_0\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Вероятность ровно \(N\) молекулам из \(2N\) оказаться в области объёма \(\Omega\): \[ p(\Omega)=C_{2N}^{N}\Bigl(\frac{\Omega}{2V_0}\Bigr)^N\Bigl(1-\frac{\Omega}{2V_0}\Bigr)^N. \]
Для \(\Omega=V_0-V\) и \(\Omega'=V_0\) биномиальные коэффициенты сокращаются: \[ \frac{p(V_0-V)}{p(V_0)} =\Bigl(\frac{V_0-V}{V_0}\Bigr)^N\Bigl(\frac{V_0+V}{V_0}\Bigr)^N =\Bigl(1-\frac{V^2}{V_0^2}\Bigr)^N. \]
Значит, первая вероятность меньше в \((1-V^2/V_0^2)^N\) раз.
При \(V=V_0/2\) отношение есть \((3/4)^N\). Для \(N=10\) это \(0{,}056\): десяток молекул в урезанной половине уже заметно реже, чем в полной. При \(N=N_A\) даже крошечное \(V/V_0=10^{-10}\) убивает отношение множителем \(e^{-10^{13}}\). Квадрат \(V^2/V_0^2\) появился потому, что сравнивают две области одного ранга \(N\): линейные поправки сократились.