Два одинаковых тела, нагретых до разных температур, приводятся в тепловой контакт друг с другом. Температуры тел уравниваются. Покажите, что при этом процессе энтропия системы увеличивается.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Два одинаковых тела, теплоёмкость каждого \(C\) (не зависит от температуры). Начальные температуры \(T_1>T_2\). Приводим их в тепловой контакт и ждём. Энергия никуда не девается — система теплоизолирована: \[ C(T_1-T)+C(T_2-T)=0\qquad\Longrightarrow\qquad T=\frac{T_1+T_2}{2}. \] Конечная температура — среднее арифметическое. Никакой работы нет, меняется только тепло.
Энтропия — функция состояния. Для тела с постоянной теплоёмкостью \(dS=dQ/T=C\,dT/T\), поэтому \[ \Delta S_1=C\ln\frac{T}{T_1},\qquad \Delta S_2=C\ln\frac{T}{T_2}. \] Сумма \[ \Delta S=C\ln\frac{T^2}{T_1 T_2}=C\ln\frac{(T_1+T_2)^2}{4T_1 T_2}. \] Неравенство \((T_1+T_2)^2\geqslant 4T_1 T_2\) — это просто \((T_1-T_2)^2\geqslant 0\). Равенство только при \(T_1=T_2\). Значит \(\Delta S>0\), пока температуры разные.
По-другому: среднее арифметическое не меньше среднего геометрического, \(\frac{T_1+T_2}{2}\geqslant\sqrt{T_1 T_2}\), и логарифм отношения строго положителен. Тепло течёт через конечную разность температур — процесс необратим, энтропия рождается.
Два стакана воды, 80 °C и 20 °C, теплоёмкость каждого \(C=4{,}2\) кДж/К, после контакта оба по 50 °C. Прирост \(\Delta S=C\ln(323^2/(353\cdot 293))\approx 0{,}16\) кДж/К — как энтропия плавления полуграмма льда. Если бы тепло шло через машину Карно, этой энтропии не родилось бы, а вместо неё сняли бы работу \(T_\text{хол}\Delta S\sim 50\) кДж. Контакт «в лоб» как раз и выбрасывает эту работу в тепло: среднее арифметическое температур больше геометрического, и логарифм это видит.