Найдите КПД циклов, изображённых на рисунке, если рабочим телом тепловой машины является одноатомный идеальный газ.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Цикл Отто (две изохоры и две адиабаты), степень сжатия \(V_2/V_1>1\). Тепло подводится только на изохоре при большом объёме? Нет: в стандартном Отто сжатие адиабатическое \(V_2\to V_1\) (меньший объём), нагрев изохорический, расширение адиабатическое, сброс изохорический. КПД \[ \eta=1-\frac{T_{\text{сброса}}}{T_{\text{подвода}}}=1-\Bigl(\frac{V_1}{V_2}\Bigr)^{\gamma-1}. \] Одноатомный газ, \(\gamma-1=2/3\), \[ \eta=1-\Bigl(\frac{V_1}{V_2}\Bigr)^{2/3}. \] Работа \(A=c_V(T_3-T_2)-c_V(T_4-T_1)\), \(Q_+=c_V(T_3-T_2)\), и отношение температур на адиабатах даёт ту же формулу.
б. Две изотермы \(T_2>T_1\) и две изобары. На изобарах газ меняет температуру, на изотермах — объём. Работа за цикл — только с изотерм (на изобаре \(A=P\Delta V=R\Delta T\), две изобары взаимно уничтожаются по знаку): \[ A=R(T_2-T_1)\ln\frac{P_2}{P_1}. \] Тепло подводится на изотерме \(T_2\) (\(Q_T=RT_2\ln(P_2/P_1)\), расширение) и на изобаре нагрева (\(Q_P=c_P(T_2-T_1)=\frac52 R(T_2-T_1)\)): \[ Q_+=RT_2\ln\frac{P_2}{P_1}+\frac52 R(T_2-T_1), \] \[ \eta=\frac{2(T_2-T_1)\ln(P_2/P_1)}{5(T_2-T_1)+2T_2\ln(P_2/P_1)}. \]
Цикл Отто со степенью сжатия 8 даёт \(\eta=1-8^{-2/3}=1-1/4=75\,\%\) в идеале; реальный бензиновый мотор берёт 25–30 %, остальное — трение, выхлоп, неполнота сгорания. В пункте «б» при \(T_2=2T_1\) и \(P_2=2P_1\) имеем \(\eta=2\ln 2/(5+4\ln 2)\approx 0{,}18\), далеко от карнотовских 50 %: изобарический довесок в \(Q_+\) тяжёлый. Чем больше отношение давлений, тем ближе «б» к Карно — логарифм в знаменателе побеждает пятёрку.