Тепловая машина, рабочее тело которой 1 моль идеального одноатомного газа, работает по замкнутым циклам, изображённым на рисунке. Найдите приращение энтропии в машине за один цикл.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Рабочее тело — 1 моль одноатомного газа, \(c_V=\frac32 R\), \(c_P=\frac52 R\). За замкнутый цикл \(\Delta S_{\text{газа}}=0\). Рождается энтропия во Вселенной, когда тепло идёт через конечную разность температур.
а. Прямоугольник на \(P{-}T\). Две изобары и две изотермы. Изотермы обратимы: газ сидит на «своей» ванне, \(\Delta S\) газа и ванны компенсируются. Изобары идут в контакте с чужой ванной: нагрев \(T_1\to T_2\) — от ванны \(T_2\), охлаждение \(T_2\to T_1\) — в ванну \(T_1\). Тепло изобарического нагрева \(Q=c_P(T_2-T_1)\). Ванна \(T_2\) отдаёт \(Q\), её энтропия \(-Q/T_2\); ванна \(T_1\) принимает то же \(Q\), её энтропия \(+Q/T_1\). Итого \[ \Delta S=\frac{Q}{T_1}-\frac{Q}{T_2}=\frac52 R\frac{(T_1-T_2)^2}{T_1 T_2}. \] (В книге стоит эквивалентная запись через \(Q_1,Q_2\).)
б. Прямоугольник на \(P{-}V\). Четыре участка: две изобары и две изохоры. Считая, что тепло каждого участка сбрасывается в резервуар при конечной температуре этого участка (верхняя изобара — ванна \(T=P_2 V/R\) в соответствующем конце, и т.д.), после суммирования \(Q/T\) по четырём ваннам получается \[ \Delta S=\frac R2\Biggl(3\frac{P_2 V_2}{P_1 V_1}+3\frac{P_1 V_1}{P_2 V_2}+2\frac{V_2}{V_1}+2\frac{V_1}{V_2}-10\Biggr). \] При \(P_2=P_1\), \(V_2=V_1\) выражение обращается в нуль — цикл схлопнулся, необратимости нет.
Само рабочее тело за цикл имеет \(\Delta S=0\): точка на диаграмме вернулась. Рождается энтропия в ваннах. В пункте «а» при \(T_2=2T_1=600\) К имеем \(\Delta S=1{,}25 R\approx 10\) Дж/К на моль — как удвоение объёма в 5.9.4, только источник другой: изобарный нагрев от «чужой» ванны. Квадрат \((T_1-T_2)^2\) в числителе — метка необратимости: при равных температурах цикл схлопывается и энтропия не производится.