Покажите, что КПД тепловой машины в циклическом процессе максимален, когда энтропия системы не меняется.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Тепловая машина за цикл берёт \(Q_+\) у нагревателя \(T_+\) и отдаёт \(Q_-\) холодильнику \(T_-\). Рабочее тело вернулось, \(\Delta S_{\text{тела}}=0\). Энтропия Вселенной \[ \Delta S_{\text{Всел}}=-\frac{Q_+}{T_+}+\frac{Q_-}{T_-}\geqslant 0. \] Первое начало на цикле: \(A=Q_+-Q_-\), КПД \(\eta=A/Q_+=1-Q_-/Q_+\). Из неубывания энтропии \(Q_-\geqslant Q_+ T_-/T_+\), поэтому \[ \eta=1-\frac{Q_-}{Q_+}\leqslant 1-\frac{T_-}{T_+}=\frac{T_+-T_-}{T_+}. \] Равенство — когда \(\Delta S=0\): тепло берётся и отдаётся при температурах самих ванн, без конечных перепадов. Это цикл Карно (две изотермы и две адиабаты).
Любая необратимость — трение, теплообмен через \(\Delta T\), неравновесное расширение — рождает энтропию и роняет КПД ниже карнотовского потолка. В этом смысл задачи: максимум КПД и постоянство энтропии — одно и то же условие.
Неравенство \(Q_-/Q_+\geqslant T_-/T_+\) — это просто \(\Delta S_\text{Всел}\geqslant 0\), переписанное через тепло. КПД поэтому не выше \((T_+-T_-)/T_+\), и равенство сидит ровно там, где энтропия не родилась. Любое трение, любой перепад \(\Delta T\) на теплообменнике двигает машину вниз от этого потолка. Знаменатель обязан быть \(T_+\), не \(T_-\): иначе при \(T_-\to 0\) потолок уходил бы на бесконечность, а не к единице, и третье начало ломалось бы уже в школе.