Вычислите приращение энтропии водорода массы \(m\) при переходе его от объёма \(V_1\) и температуры \(T_1\) к объёму \(V_2\) и температуре \(T_2\), если газ: а) нагревается при постоянном объёме \(V_1\), а затем изотермически расширяется; б) расширяется при постоянной температуре \(T_1\) до объёма \(V_2\), затем нагревается при постоянном объёме; в) адиабатически расширяется до объёма \(V_2\), а затем нагревается при постоянном объёме.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Энтропия идеального газа — функция состояния. На моль \(dS=c_V\,dT/T+R\,dV/V\). Водород при комнатной и умеренно высокой температуре двухатомен, вращение возбуждено, \(c_V=\frac52 R\). Интегрируем от \((T_1,V_1)\) до \((T_2,V_2)\): \[ \Delta S=\frac{m}{\mu}\Bigl(\frac52 R\ln\frac{T_2}{T_1}+R\ln\frac{V_2}{V_1}\Bigr) =\frac{m}{\mu}R\ln\Biggl[\frac{V_2}{V_1}\Biggl(\frac{T_2}{T_1}\Biggr)^{5/2}\Biggr]. \]
Путь (а). Изохора \(V_1\): \(\Delta S_a=(m/\mu)c_V\ln(T_2/T_1)\). Затем изотерма \(T_2\): \(\Delta S_b=(m/\mu)R\ln(V_2/V_1)\). Сумма — наша формула.
Путь (б). Те же два слагаемых в другом порядке: сначала изотерма \(T_1\), потом изохора \(V_2\). Сумма та же.
Путь (в). Обратимая адиабата не меняет \(S\). Она приводит газ в точку \((V_2,T')\), где \(T'=T_1(V_1/V_2)^{\gamma-1}\), \(\gamma-1=2/5\). Затем изохорический нагрев от \(T'\) до \(T_2\): \[ \Delta S=\frac{m}{\mu}c_V\ln\frac{T_2}{T'}=(m/\mu)\frac52 R\ln\Biggl[\frac{T_2}{T_1}\Biggl(\frac{V_2}{V_1}\Biggr)^{2/5}\Biggr], \] и после упрощения снова та же формула.
В ответах задачника стоит показатель \(3/2\) — как у одноатомного газа. Для водорода при комнатной температуре правильнее \(5/2\); \(3/2\) получится, если положить \(c_V=\frac32 R\).
Водород \(m=2\) г от \((T,V)\) к \((2T,2V)\): \(\Delta S=R\ln(2\cdot 2^{5/2})=R\ln(2^{7/2})\approx 20\) Дж/К. Книжный показатель \(3/2\) дал бы 14 Дж/К — на треть меньше, потому что выключено вращение. При комнатной температуре вращение \(\mathrm{H_2}\) уже возбуждено (\(T_\text{вр}\sim 90\) К), так что \(5/2\) честнее. Три пути сходятся не «примерно», а тождественно: \(S=S(T,V)\), и адиабата пути «в» просто перекладывает кусок логарифма из \(T\) в \(V\).