Кусок льда массы 0,1 кг при температуре \(0^\circ\mathrm{C}\) бросают в теплоизолированный сосуд, содержащий 2 кг бензола при \(50^\circ\mathrm{C}\). Найдите приращение энтропии системы после установления равновесия. Удельная теплоёмкость бензола 1,75 кДж/(кг·К).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Тепло на плавление 0,1 кг льда: \(Q_\lambda=0{,}1\cdot 3{,}34\cdot10^5=3{,}34\cdot10^4\) Дж. Пусть равновесная температура \(t>0^\circ\mathrm{C}\). Баланс энергии (бензол отдаёт, лёд берёт на плавление и нагрев воды): \[ 3{,}34\cdot10^4+0{,}1\cdot 4180\cdot t=2\cdot 1750\cdot(50-t). \] \[ 33400+418t=175000-3500t\qquad\Longrightarrow\qquad 3918t=141600,\qquad t\approx 36^\circ\mathrm{C}. \] Весь лёд растаял, равновесие при \(T=309\) К. Начальные температуры: лёд \(T_0=273\) К, бензол \(T_b=323\) К.
Три вклада в энтропию: \[ \Delta S_\lambda=\frac{33400}{273}\approx 122\ \text{Дж/К}, \] \[ \Delta S_{\text{вода}}=mc\ln\frac{309}{273}=418\ln 1{,}132\approx 418\cdot 0{,}124\approx 52\ \text{Дж/К}, \] \[ \Delta S_{\text{бензол}}=C\ln\frac{309}{323}=3500\ln 0{,}957\approx 3500\cdot(-0{,}044)\approx -154\ \text{Дж/К}. \] \[ \Delta S\approx 122+52-154=20\ \text{Дж/К}. \]
Знак плюс обязателен: необратимый теплообмен через конечную разность температур. Бензол потерял меньше энтропии, чем приобрели лёд и вода, — потому что тепло уходило от него при более высокой температуре.
Бензол остыл с 50 до 36 °C и отдал \(\approx 49\) кДж; изо этого 33 кДж ушло на плавление, 6 — на нагрев воды. Энтропия бензола упала на 154 Дж/К, лёд с водой набрали 174 Дж/К, плюс 20 Дж/К родилось «в щели» между 50 °C и 0 °C. Оценка \(Q\Delta T/T^2\) сразу даёт десятки джоулей на кельвин и страхует от ошибки в знаке: если вышло отрицательное — перепутали, кто отдаёт тепло. Запас бензола 175 кДж много больше 33 кДж плавления, поэтому равновесие не зависло на 0 °C.