В теплоизолированном сосуде находится 0,5 кмоль гелия и 1 кг льда. В начальный момент температура льда 273 К, гелия 303 К. Сосуд закрыт подвижным поршнем. Найдите приращение энтропии системы при переходе к равновесию.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Гелий одноатомен, \(\nu=0{,}5\) кмоль \(=500\) моль, \(c_P=\frac52 R=20{,}8\) Дж/(моль·К). Поршень подвижный, внешнее давление постоянно, поэтому гелий отдаёт тепло при \(P=\mathrm{const}\): \(dQ=\nu c_P\,dT\). Если он остынет до 273 К, \[ Q=\nu c_P\cdot 30=500\cdot 20{,}8\cdot 30=3{,}12\cdot10^5\ \text{Дж}. \] На плавление 1 кг льда нужно \(3{,}34\cdot10^5\) Дж. Не хватает: растает \[ m=\frac{Q}{\lambda}=\frac{3{,}12\cdot10^5}{3{,}34\cdot10^5}=0{,}93\ \text{кг}, \] равновесие при 273 К, поршень чуть осядет (гелий сжался при остывании).
Энтропия гелия (изобара) \[ \Delta S_{\mathrm{He}}=\nu c_P\ln\frac{273}{303}=500\cdot 20{,}8\cdot\ln 0{,}901\approx -1085\ \text{Дж/К}. \] Энтропия льда: он получает \(Q\) при 273 К, \[ \Delta S_{\text{лёд}}=\frac{Q}{273}\approx 1143\ \text{Дж/К}. \] \[ \Delta S\approx 58\ \text{Дж/К}\approx 60\ \text{Дж/К}. \]
Полкиломоля гелия — это 2 кг газа, почти баллон. Остывая на 30 К при постоянном давлении, он отдаёт 312 кДж и не дотягивает 22 кДж до полного килограмма льда: растает 930 г, в сосуде останется каша лёд–вода при 0 °C. Именно поэтому \(\Delta S_\text{льда}=Q/273\), а не \(mc\ln(T_f/273)\): температура льда не уехала. Если поршень закрепить, гелий отдаст только \(c_V\), растает 0,56 кг, и \(\Delta S\) упадёт примерно до 35 Дж/К — подвижность поршня меняет ответ почти вдвое.