Докажите, что момент сил, действующий на любую плоскую рамку с током в однородном магнитном поле индукции \(\mathbf{B}\), равен \(N=|\mathbf{M}\times\mathbf{B}|\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Проведём внутри плоского контура семейство близких хорд, параллельных выбранному направлению, и замкнём их короткими торцами. Получится набор узких трапеций (в пределе — прямоугольников). По границе каждой пустим ток \(I\). На общих сторонах соседних микроконтуров токи противоположны и сокращаются: снаружи остаётся только исходная рамка.
Для прямоугольного микроконтура результат доказан в 9.1.7:
\[ \Delta\mathbf{N}_i=[\Delta\mathbf{M}_i\times\mathbf{B}],\qquad\Delta M_i=I\,\Delta S_i. \]Все \(\Delta\mathbf{M}_i\) сонаправлены — одна плоскость, один обход. Сумма
\[ \mathbf{N}=\sum[\Delta\mathbf{M}_i\times\mathbf{B}] =\Bigl[\Bigl(\sum\Delta\mathbf{M}_i\Bigr)\times\mathbf{B}\Bigr] \xrightarrow[\Delta h\to0]{}[\mathbf{M}\times\mathbf{B}], \]где \(M=IS\) — площадь всей рамки, умноженная на ток.
От формы осталась только площадь. Две рамки одинаковой площади и тока в одном однородном поле испытывают одинаковый момент — будь то круг, треугольник или «клякса».