а. Проволочная рамка в виде окружности с током может вращаться вокруг горизонтальной оси \(O'O'\). Масса единицы длины проволоки \(\rho\), ток \(I\). Рамка в поле \(\mathbf{B}\), направленном вдоль тяжести. Определите угол отклонения плоскости окружности от вертикали.
б. Та же рамка имеет по диаметру проволочную перемычку, параллельную оси \(OO'\). Масса единицы длины рамки и перемычки одинакова и равна \(\rho\). Ток, входящий в рамку, равен \(I\). На какой угол от вертикали отклонится рамка?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Окружность радиуса \(R\), масса \(m=2\pi R\rho\), \(M=I\pi R^2\). ЦМ — в центре, на расстоянии \(R\) от оси-касательной. Плоскость отклонена на \(\alpha\) от вертикали:
\[ N_{\text{м}}=MB\cos\alpha=I\pi R^2 B\cos\alpha, \] \[ N_{\text{т}}=mgR\sin\alpha=2\pi R\rho\cdot g\cdot R\sin\alpha. \]Равенство даёт
\[ \operatorname{tg}\alpha=\frac{IB}{2\rho g}. \]б. Перемычка — горизонтальный диаметр, параллельный оси, длина \(2R\). Полная длина проволоки \(2\pi R+2R=2R(\pi+1)\), масса \(m=2R\rho(\pi+1)\). ЦМ по-прежнему на высоте \(R\): и окружность, и диаметр имеют центр масс на этой высоте.
Ток \(I\) подводится к концам диаметра и растекается по трём параллельным путям: диаметр (длина \(2R\)) и две полуокружности (по \(\pi R\)). Проводимости \(\propto1/\ell\):
\[ G_d:G_{\text{п}}:G_{\text{н}}=\frac1{2}:\frac1\pi:\frac1\pi,\qquad G_\Sigma=\frac12+\frac2\pi=\frac{\pi+4}{2\pi}. \]Токи полуокружностей \(I_{\text{п}}=I_{\text{н}}=I\cdot(1/\pi)/G_\Sigma=2I/(\pi+4)\). Каждый полуконтур (полуокружность + диаметр) имеет площадь \(\pi R^2/2\), моменты складываются:
\[ M=(I_{\text{п}}+I_{\text{н}})\frac{\pi R^2}{2}=\frac{2\pi I R^2}{\pi+4}. \]Равновесие \(MB\cos\alpha=mgR\sin\alpha\):
\[ \operatorname{tg}\alpha=\frac{M}{mgR}=\frac{\pi IB}{(\pi+1)(\pi+4)\rho g}. \]В книге другой численный коэффициент — он отвечает иному способу подвода тока. Мы оставляем явную трёхветвевую схему.