Проводящее кольцо поместили в магнитное поле, перпендикулярное его плоскости. По кольцу циркулирует ток \(I\). Если проволока кольца выдерживает на разрыв нагрузку \(F\), то при какой индукции кольцо разорвётся? Радиус кольца \(R\). Действием на кольцо поля, создаваемого самим током \(I\), пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Индукция \(\mathbf{B}\) перпендикулярна плоскости кольца, ток \(I\). На элемент дуги \(R\,\mathrm{d}\theta\) сила Ампера \(\mathrm{d}F=I\cdot R\,\mathrm{d}\theta\cdot B\) направлена по радиусу (наружу или внутрь — в зависимости от знака \(I\) относительно \(\mathbf{B}\); для разрыва важен модуль).
Равновесие половины кольца. Две силы натяжения \(T\) в разрезах уравновешивают суммарную поперечную (вдоль диаметра) нагрузку. Интеграл радиальных сил по полуокружности даёт \(2IRB\):
\[ 2T=I\cdot 2R\cdot B\qquad\Longrightarrow\qquad T=IRB. \]Тот же ответ даёт локальный баланс: \(T\,\mathrm{d}\theta=IB\cdot R\,\mathrm{d}\theta\).
Проволока выдерживает на разрыв нагрузку \(F\). Разрыв при \(T=F\):
\[ B=\frac{F}{RI}. \]Собственным полем тока пренебрегли: оно сжимает кольцо (пинч-эффект) и только повышает порог внешнего \(B\).