На линейный проводник длины \(l\), расположенный перпендикулярно магнитному полю, действует сила \(F\), если ток в проводнике равен \(I\). С какой силой магнитное поле будет действовать на:
а. изогнутый под углом \(\varphi\) проводник длины \(l+L\), если плоскость изгиба перпендикулярна магнитному полю, а ток в проводнике равен \(I_1\);
б. проводник в виде полуокружности радиуса \(R\), по которому течёт ток \(I_2\), если плоскость полуокружности перпендикулярна магнитному полю?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Эталон: прямой провод длины \(l\) перпендикулярен \(\mathbf{B}\), ток \(I\), сила \(F=IlB\). Отсюда \(B=F/(Il)\).
а. Провод длины \(l+L\) изогнут под углом \(\varphi\), плоскость изгиба перпендикулярна \(\mathbf{B}\). Два прямолинейных участка — стороны \(l\) и \(L\), угол между ними \(\varphi\). Вектор-хорда от одного конца до другого имеет длину (теорема косинусов)
\[ \ell=\sqrt{l^2+L^2-2lL\cos\varphi}. \]Сила при токе \(I_1\)
\[ F_1=I_1\ell B=F\cdot\frac{I_1}{I}\sqrt{1+\frac{L^2}{l^2}-2\frac{L}{l}\cos\varphi}. \]б. Полуокружность радиуса \(R\), плоскость перпендикулярна \(\mathbf{B}\). Концы — концы диаметра, хорда равна \(2R\). Сила при токе \(I_2\)
\[ F_2=I_2\cdot 2R\cdot B=2F\cdot\frac{R}{l}\frac{I_2}{I}. \]Дуга длиннее диаметра, но поперечные компоненты силы на симметричных элементах сокращаются, остаётся ровно вклад диаметра.