В однородном магнитном поле поместили прямоугольную рамку с током. Индукция \(\mathbf{B}\) параллельна плоскости рамки. Площадь рамки \(S\), ток \(I\).
а. Докажите, что момент сил, действующий на рамку, \(N=BM\), где \(M=IS\) — магнитный момент рамки.
б. Докажите, что если \(\mathbf{B}\) направлена, как на рисунке, момент равен \(N=|\mathbf{M}\times\mathbf{B}|\), где \(\mathbf{M}\) перпендикулярен плоскости рамки и \(|\mathbf{M}|=IS\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Пусть стороны прямоугольника \(a\) (перпендикулярны \(\mathbf{B}\)) и \(b\) (параллельны \(\mathbf{B}\)). На стороны, параллельные полю, сила Ампера равна нулю. На каждую из сторон длины \(a\) действует \(F=IaB\), силы противоположны и образуют пару с плечом \(b\):
\[ N=F\cdot b=IaB\cdot b=I(ab)B=ISB=MB, \]где \(M=IS\) — магнитный момент рамки.
б. Разложим \(\mathbf{B}=\mathbf{B}_\parallel+\mathbf{B}_\perp\) относительно плоскости рамки. Нормальная составляющая даёт силы, растягивающие или сжимающие рамку в её плоскости, — момент нулевой (все силы лежат в плоскости). Остаётся \(\mathbf{B}_\parallel\), и по пункту а
\[ N=M B_\parallel=MB\sin\theta=|\mathbf{M}\times\mathbf{B}|, \]где \(\theta\) — угол между нормалью (направлением \(\mathbf{M}\)) и \(\mathbf{B}\). Вектор \(\mathbf{M}\) перпендикулярен плоскости рамки, его направление — по правилу буравчика.