В однородном магнитном поле индукции \(B\) находится квадратная рамка с током. Масса рамки \(m\), ток в ней \(I\). Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси \(O'O'\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Квадратная рамка, сторона \(a\), масса \(m\), ток \(I\). Ось \(O'O'\) — средняя линия в плоскости рамки. В равновесии \(\mathbf{B}\) перпендикулярна плоскости, \(M=Ia^2\) смотрит вдоль \(\mathbf{B}\). При малом угле \(\theta\)
\[ N=-Ia^2 B\sin\theta\approx-Ia^2 B\,\theta. \]Момент инерции проволочного квадрата относительно средней линии. Две стороны, параллельные оси, лежат на расстоянии \(a/2\):
\[ J_\parallel=2\cdot\frac{m}{4}\cdot\Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^2=\frac{ma^2}{8}. \]Две стороны, перпендикулярные оси, — стержни длины \(a\), ось через середину, в плоскости рамки:
\[ J_\perp=2\cdot\frac{m}{4}\cdot\frac{a^2}{12}=\frac{ma^2}{24}. \]Сумма \(J=ma^2/6\). Уравнение \(J\ddot\theta=-Ia^2 B\,\theta\) даёт
\[ \omega=\sqrt{\frac{Ia^2 B}{ma^2/6}}=\sqrt{\frac{6IB}{m}}. \]Сторона \(a\) сократилась: и момент сил, и момент инерции пропорциональны \(a^2\).