По кольцу радиуса \(R\) течёт ток \(I\). Определите индукцию в центре кольца и на его оси на расстоянии \(h\) от центра.
К задаче 9.2.10. Кольцо с током: центр \(O\) и точка на оси на высоте \(h\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Каждый элемент кольца даёт вклад Био–Савара. В центре все вклады сонаправлены и равны. На оси поперечные компоненты сокращаются, остаётся косинус угла на ось.
Центр. Элемент \(R\,\mathrm{d}\theta\) виден из центра под прямым углом, \(r=R\),
Все \(\mathrm{d}\mathbf{B}\) вдоль оси кольца. Интеграл по \(2\pi\):
\[ B=\frac{\mu_0 I}{2R}. \]
Ось, расстояние \(h\). Элемент на расстоянии \(\sqrt{R^2+h^2}\) от точки. Угол между \(\mathrm{d}\mathbf{l}\) и радиус-вектором 90°, но к оси идёт только составляющая \(\mathrm{d}B\cos\alpha\), где \(\cos\alpha=R/\sqrt{R^2+h^2}\). Всего
\[ B_h=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\cdot\frac{2\pi R}{R^2+h^2}\cdot\frac{R}{\sqrt{R^2+h^2}}
=\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+h^2)^{3/2}}. \]
Проверка. При \(h=0\) получаем \(\mu_0 I/(2R)\) — центр. При \(h\gg R\) поле \(B\approx\mu_0 I R^2/(2h^3)=\mu_0 M/(2\pi h^3)\) с \(M=I\pi R^2\) — диполь на оси (задача 9.2.16). Размерность — тесла.