Докажите, что на больших расстояниях от двух последовательно соединённых участков провода \(\mathbf{l}_1\) и \(\mathbf{l}_2\) магнитное поле близко к полю участка \(\mathbf{l}=\mathbf{l}_1+\mathbf{l}_2\) с тем же током.
К задаче 9.2.9. Два последовательных участка \(\boldsymbol{\ell}_1,\boldsymbol{\ell}_2\) и эквивалентная хорда \(\boldsymbol{\ell}\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
На больших расстояниях каждый кусок провода — точечный элемент Био–Савара, и поле линейно по вектору \(\mathbf{l}\). Сумма \(\mathbf{l}_1+\mathbf{l}_2\) даёт то же поле, что и прямая хорда.
Поле элемента тока на расстоянии \(r\gg l\) (задача 9.2.8б)
а это в точности поле одного отрезка \(\mathbf{l}=\mathbf{l}_1+\mathbf{l}_2\) с тем же током. «Ломаная на больших расстояниях неотличима от хорды».
Условие \(r\gg l\) существенно: в ближней зоне форма важна (полуокружность и диаметр в центре дают разные поля). Далеко остаётся только дипольный и более высокие порядки, а для незамкнутого куска — монопольный по \(\mathbf{l}\) член, и он аддитивен.
Проверка. Три звена ломаной, замыкающиеся в треугольник: \(\mathbf{l}_1+\mathbf{l}_2+\mathbf{l}_3=0\), поле на бесконечности нуль в этом порядке — правильно, замкнутый контур даёт диполь \(\propto1/r^3\), а не \(1/r^2\). Для прямого провода конечной длины ответ совпадает с интегрированием Био–Савара в пределе \(r\gg l\).
Ответна больших \(r\) поле аддитивно по \(\mathbf{l}\), ломаная \(\equiv\) хорда.