а. Используя формулу 9.2.1, определите индукцию поля заряда \(q\), движущегося со скоростью \(v\), на расстоянии \(r\) от заряда. Радиус-вектор \(\mathbf{r}\) образует со скоростью угол \(\alpha\).
б. Определите индукцию поля прямого провода длины \(l\) с током \(I\) на расстоянии \(r\) от провода, если \(l\ll r\). Радиус-вектор \(\mathbf{r}\) образует с проводом угол \(\alpha\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Электрическое поле заряда \(E=q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)\), угол между \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{r}\) равен \(\alpha\). Тогда
\[ B=KvE\sin\alpha=\mu_0\varepsilon_0 v\cdot\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\sin\alpha =\frac{\mu_0 qv\sin\alpha}{4\pi r^2}. \]Это нерелятивистский предел поля Лиенара–Вихерта. Линии \(\mathbf{B}\) — окружности вокруг направления \(\mathbf{v}\).
б. Отрезок длины \(l\ll r\) с током \(I\) можно считать элементом. За время \(\mathrm{d}t\) через сечение проходит заряд \(\mathrm{d}q=I\,\mathrm{d}t\), и \(I l=(\mathrm{d}q/\mathrm{d}t)\cdot l=v\cdot\mathrm{d}q\cdot(l/(v\mathrm{d}t))\). Для всего отрезка \(Il\) играет роль \(qv\):
\[ B=\frac{\mu_0 Il\sin\alpha}{4\pi r^2}. \]Это формула Био–Савара для одного элемента: \(\mathrm{d}\mathbf{B}=\mu_0 I[\mathrm{d}\mathbf{l}\times\mathbf{r}]/(4\pi r^3)\).