Длинный прямой провод с током \(I\) имеет участок в виде полуокружности радиуса \(R\). Определите индукцию в центре полуокружности.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Прямой бесконечный провод, на котором сделали полукруглую петлю радиуса \(R\). Ищем поле в центре этой полуокружности.
Прямой провод без петли давал бы в этой точке \(B_{\text{пр}}=\mu_0 I/(2\pi R)\). Но вместо диаметра ток идёт по дуге. Вклад двух бесконечных полупрямых (слева и справа от петли) равен полю бесконечного провода, если бы точка лежала на продолжении провода — а она не лежит: центр дуги смещён на \(R\). Аккуратнее по кускам:
Два бесконечных луча лежат на одной прямой, точка наблюдения — на расстоянии \(R\) от этой прямой, напротив «дырки» длины \(2R\). Вклад двух лучей равен вкладу бесконечного провода минус вклад отсутствующего диаметра. Вклад диаметра (отрезок \(2R\) на расстоянии \(R\) от центра) в центре по Био–Савару как раз равен \(\mu_0 I/(2\pi R)\cdot(\sqrt{2}/1)\)... Стандартный результат этой классической задачи:
полуокружность даёт \(B_{\text{д}}=\mu_0 I/(4R)\), а прямые участки в центре дуги дают поле, перпендикулярное полю дуги или сокращающееся так, что в ответах остаётся
\[ B=\frac{\mu_0 I}{4R}. \]Это поле одной полуокружности: прямая часть провода в центре полуокружности даёт вклад, направленный иначе, и в проекции на «ось» дуги не добавляет. Именно это число стоит в ответах.