Металлическое кольцо разорвалось, когда ток в нём был \(I_0\). Сделали точно такое же кольцо, но из материала, предел прочности которого в десять раз больше.
а. Какой ток разорвёт новое кольцо?
б. Какой ток разорвёт новое кольцо, если все размеры нового в два раза больше размеров старого?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Собственное поле кольца на проводе порядка \(B\sim\mu_0 I/(2R)\) (с логарифмом толщины, но для оценки достаточно). Радиальная сила на элемент растягивает кольцо, натяжение \(T\sim IRB\sim\mu_0 I^2\) (ср. 9.1.15, только \(B\) своё). Предел прочности \(\sigma=T/s\), где \(s\) — сечение проволоки.
а. Новое кольцо из материала в 10 раз прочнее, размеры те же. Тогда \(T_{\text{макс}}\) в 10 раз больше, \(I^2\) в 10 раз больше,
\[ I=I_0\sqrt{10}. \]б. Все размеры вдвое больше: и радиус, и толщина проволоки. Сечение \(s\propto(\text{толщина})^2\) выросло в 4 раза, радиус в 2 раза. Натяжение \(T\sim\mu_0 I^2\) не зависит от \(R\) в главном порядке (или \(T\sim\mu_0 I^2\ln(R/a)/(4\pi)\), логарифм слабо меняется). Прочность \(T_{\text{макс}}=\sigma s\) выросла в \(10\cdot4=40\) раз? Нет: материал в 10 раз прочнее и размеры вдвое — в пункте б спрашивают новое кольцо из нового материала с удвоенными размерами. Тогда \(T_{\text{макс}}\propto\sigma s\propto10\cdot4=40\), \(I\propto\sqrt{40}=2\sqrt{10}\,I_0\).
В ответе \(I=2I_0\sqrt{10}\). Именно так: \(\sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10}\).