Определите индукцию на оси контура с магнитным моментом \(M\) на больших расстояниях \(h\) в случаях, когда контур — окружность, квадрат, правильный треугольник.
К задаче 9.2.16. Три контура с одним моментом \(M\): на далёкой оси поле одно и то же.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
На большой оси любой контур — магнитный диполь с моментом \(M=IS\). Поле на оси диполя универсально: \(B=\mu_0 M/(2\pi h^3)\). Форма (круг, квадрат, треугольник) пропадает.
Магнитный момент плоского контура \(M=IS\), направлен по нормали. На оси, на расстоянии \(h\), много большем размеров контура, поле одно и то же для всех форм — это поле диполя:
Проверим на круге. Из 9.2.10 при \(h\gg R\): \(B\approx\mu_0 I R^2/(2h^3)\). Но \(M=I\pi R^2\), значит \(\mu_0 I R^2/(2h^3)=\mu_0 M/(2\pi h^3)\) — совпало. Для квадрата и треугольника тот же предел: в разложении Био–Савара первый член — дипольный, он зависит только от \(M\).
Поэтому ответ во всех трёх случаях одинаков.
Проверка. Размерность: \(\mu_0 M/h^3=(\text{Гн/м})\cdot(\text{А}\cdot\text{м}^2)/\text{м}^3=\text{Тл}\). При \(h\to\infty\) поле падает как \(1/h^3\), быстрее, чем у прямого тока (\(1/h\)). Это потому, что контур замкнут: монопольного члена нет.
Ответ\(B=\mu_0 M/(2\pi h^3)\) во всех трёх случаях.