Савченко · Глава 9. Постоянное магнитное поле · § 9.2. Магнитное поле движущегося заряда. Индукция магнитного поля линейного тока

Савченко, задача 9.2.18

↑ задача в главе

Задача 9.2.18поле контура = поле момента

Условие

Магнитное поле плоского контура с током на больших расстояниях определяется магнитным моментом контура и не зависит от его формы. Докажите это.

К задаче 9.2.18. Два плоских контура разной формы и одинаковой площади: вдали поле одно.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Любой плоский контур режется на микроконтуры. У каждого микроконтура поле далеко — дипольное с моментом \(I\Delta S\). Сумма зависит только от полной площади, то есть только от \(M=IS\).

Разобьём плоский контур на мелкие ячейки, как в 9.1.10. Токи на внутренних рёбрах сокращаются, снаружи остаётся исходный контур. Поле на больших расстояниях — сумма полей микроконтуров. Каждый микроконтур — диполь \(\Delta\mathbf{M}=I\Delta S\,\mathbf{n}\), и все нормали одинаковы. Полный момент

\[ \mathbf{M}=\sum\Delta\mathbf{M}=IS\,\mathbf{n}. \]

Поле диполя линейно по \(\mathbf{M}\), поэтому суммарное поле есть поле одного диполя с моментом \(M=IS\). Форма контура выпала: два контура одинаковой площади и тока неотличимы издалека.

Поправки (квадруполь и выше) падают быстрее, как \(1/r^4\), \(1/r^5\), и при \(r\), много большем размеров, ими можно пренебречь. Именно поэтому в 9.2.16 круг, квадрат и треугольник дали один ответ.

Проверка. Если контур не плоский, \(\mathbf{M}=I\mathbf{S}\) с векторной площадью \(\mathbf{S}=\tfrac12\oint[\mathbf{r}\times\mathrm{d}\mathbf{l}]\), и утверждение остаётся верным: далёкое поле определяется только \(\mathbf{M}\). Для прямого отрезка \(M=0\) в этом смысле, и поле падает как \(1/r^2\) (задача 9.2.8) — «монополь» по \(\mathbf{l}\).

Ответразбиение на микроконтуры: \(B\) зависит лишь от \(M=IS\).

Следующая задача 9.2.19 →