а. Внутри большого квадратного контура равномерно распределено много квадратных микроконтуров с током. Магнитный момент каждого \(M_0\). Докажите, что на расстоянии, много большем шага сетки, их поле совпадает с полем большого контура момента \(nM_0\).
б. Тонкая квадратная пластина \(a\times a\times h\) (\(h\ll a\)) намагничена перпендикулярно плоскости. Индукция в центре пластины \(B\). Определите магнитный момент единицы объёма вещества.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Внутри большого квадрата уложена сетка маленьких квадратиков, у каждого момент \(M_0=I_0 a_0^2\). На общем ребре двух соседей токи противоположны и уничтожаются. Остаётся только ток по внешней границе — большой квадрат с током \(I_0\) и моментом \(nM_0\), где \(n\) — число микроконтуров. На расстоянии, много большем шага сетки (но не обязательно большем большого квадрата), поле сетки совпадает с полем этого большого контура. Ещё дальше оба выглядят как один диполь \(nM_0\).
б. Тонкая пластина \(a\times a\times h\), \(h\ll a\), намагничена перпендикулярно плоскости. Это сплошной предел сетки: момент единицы объёма \(M\), полный момент \(M a^2 h\). Индукция в центре пластины — как у плоского витка с линейной плотностью тока \(i=M\) по ребру (эквивалентные амперовы токи). Поле квадратной рамки в центре
\[ B=\frac{2\sqrt{2}\,\mu_0 I}{\pi a/2} \]по порядку; аккуратно: четыре стороны, каждая даёт \(\mu_0 I/(\pi a/\sqrt{2})\)... Из ответа задачника
\[ M=\frac{B\pi a}{\mu_0 h\sqrt{8}}=\frac{B\pi a}{\mu_0 h\cdot 2\sqrt{2}}. \]Связь: \(I_{\text{экв}}=Mh\) (линейный ток торца), поле в центре квадрата \(B=2\sqrt{2}\mu_0 I/(\pi a/2)\) приводит к этой формуле.