Из намагниченного железа вырезали плоский тонкий диск радиуса \(R\) и толщины \(h\). Плоскость диска перпендикулярна намагниченности. Момент единицы объёма \(M\). Определите индукцию на оси диска на расстоянии \(l\) от центра.
К задаче 9.2.20. Тонкий намагниченный диск; точка на оси на расстоянии \(l\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Намагниченный диск эквивалентен витку с током \(I=Mh\) по ободу (амперовы токи намагниченности). Дальше — формула поля витка на оси, задача 9.2.10.
Момент единицы объёма \(M\) перпендикулярен плоскости диска. Объёмные токи намагниченности \(\mathbf{j}_m=\operatorname{rot}\mathbf{M}=0\) внутри (однородная намагниченность), поверхностный ток на ободе \(i_m=M\) (тангенциальный скачок \(\mathbf{M}\)). Полный ток обода \(I=Mh\).
Поле на оси на расстоянии \(l\) от центра — поле витка радиуса \(R\) с током \(Mh\):
\[ B=\frac{\mu_0 (Mh) R^2}{2(R^2+l^2)^{3/2}}=\frac{\mu_0 M R^2 h}{2(R^2+l^2)^{3/2}}. \]
В центре (\(l=0\)) \(B=\mu_0 Mh/(2R)\) — мало при \(h\ll R\), как и должно быть у тонкого диска.
Проверка. При \(l\gg R\) получаем \(B=\mu_0 (M\cdot\pi R^2 h)/(2\pi l^3)=\mu_0\mathcal{M}/(2\pi l^3)\), где \(\mathcal{M}=M\cdot\)объём — диполь, задача 9.2.16. При \(h\to0\) поле исчезает. Размерность: \(\mu_0 M\cdot(h/R)\) — тесла.