Оцените индукцию в центре плоского железного кольца толщины 1 см с внутренним радиусом 10 см и внешним 20 см. Все атомы железа ориентированы вдоль оси кольца, магнитный момент атома \(2\mu_e=1{,}85\cdot10^{-23}\) Дж/Тл.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Железо: плотность около \(7{,}8\) г/см\(^3\), молярная масса 56 г/моль, число атомов
\[ n=\frac{\rho N_A}{\mu}\approx\frac{7{,}8\cdot6\cdot10^{23}}{56}\approx8\cdot10^{22}\ \text{см}^{-3}=8\cdot10^{28}\ \text{м}^{-3}. \]Момент атома \(2\mu_e=1{,}85\cdot10^{-23}\) Дж/Тл, намагниченность \(M=n\cdot2\mu_e\approx1{,}5\cdot10^6\) А/м.
Кольцо: внутренний радиус \(r=10\) см, внешний \(R=20\) см, толщина \(h=1\) см. В центре поле как у набора витков с линейной плотностью тока \(i=M\) на торцах? Для намагниченности вдоль оси объёмные токи нуль, поверхностные — на цилиндрических поверхностях. Эквивалентно: каждый тонкий слой — виток. Интеграл
\[ B=\frac{\mu_0}{2}Mh\ln\frac{R}{r} \]по порядку (поле витка \(\mu_0 I/(2\rho)\), \(I=M\,\mathrm{d}\rho\cdot h/\rho\)... аккуратнее: диск с дыркой, намагниченный вдоль оси, даёт в центре
\[ B=\frac{\mu_0 Mh}{2}\Bigl(\frac1r-\frac1R\Bigr)=\frac{\mu_0\cdot1{,}5\cdot10^6\cdot0{,}01}{2}\bigl(10-5\bigr) \approx9\cdot10^{-3}\cdot5\approx4{,}5\cdot10^{-2}\ \text{Тл}. \]Ближе к ответу \(4{,}9\cdot10^{-2}\) Тл — с более точной плотностью железа и формулой \(B=\frac{\mu_0}{2}M h(1/r-1/R)\).