Индукция в центре тонкого стального намагниченного вдоль оси диска радиуса \(R\) равна \(B\). Диск помещают в однородное поле \(B_0\), не меняющее момента диска. Как ориентировать диск, чтобы момент сил был максимальным? Чему он равен?
К задаче 9.2.22. Намагниченный диск в однородном \(\mathbf{B}_0\); ориентация максимального момента сил.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Момент сил \(N=|\boldsymbol{\mathcal{M}}\times\mathbf{B}_0|=\mathcal{M}B_0\sin\theta\) максимален при \(\theta=90^\circ\): \(\mathbf{B}_0\) вдоль плоскости диска. Момент диска \(\mathcal{M}\) связан с полем \(B\) в центре через формулу тонкого диска.
Индукция в центре тонкого диска, намагниченного вдоль оси, \(B=\mu_0 Mh/(2R)=\mu_0\mathcal{M}/(2\pi R^3)\), потому что \(\mathcal{M}=M\cdot\pi R^2 h\) и \(B=\mu_0\mathcal{M}/(2\pi R^3)\). Отсюда
\[ \mathcal{M}=\frac{2\pi R^3 B}{\mu_0}. \]
Момент сил в однородном поле \(B_0\), не меняющем намагниченности,
\[ N=\mathcal{M}B_0\sin\theta. \]
Максимум при \(\sin\theta=1\): \(\mathbf{B}_0\) перпендикулярно \(\boldsymbol{\mathcal{M}}\), то есть параллельно плоскости диска. Тогда
\[ N=\frac{2\pi R^3 BB_0}{\mu_0}. \]
Диск «хочет» выровнять свой момент вдоль \(\mathbf{B}_0\), как стрелка компаса.
Проверка. Размерность: \(R^3 B B_0/\mu_0=м^3\cdot\text{Тл}^2/(\text{Гн/м})=\text{Дж}=\text{Н}\cdot\text{м}\) — момент силы. При \(B_0=0\) момента нет. Если \(\mathbf{B}_0\) вдоль оси, \(\theta=0\), момент нуль (равновесие).