Сила взаимодействия двух тонких намагниченных квадратных пластин, расположенных на расстоянии \(H\) друг над другом, равна \(F\). Размеры пластин \(a\times a\times h\). Оцените магнитный момент единицы объёма, если \(h\ll H\ll a\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Две квадратные пластины \(a\times a\times h\), намагниченные (перпендикулярно плоскости), стоят друг над другом на расстоянии \(H\). Условие \(h\ll H\ll a\): издали каждая — диполь, но \(H\ll a\), так что пластины «видят» друг друга как бесконечные листы.
Намагниченность \(M\), полный момент одной \(\mathcal{M}=M a^2 h\). Эквивалентные токи — по периметру, \(I=Mh\). Поле одной пластины на расстоянии \(H\) от неё (вблизи большой пластины, далеко от краёв) как у токового листа с поправкой на края. Более удобно: две пластины взаимодействуют как два магнитных заряда (полюса) \(\sigma_m=M\) на поверхностях. Сила притяжения двух листов «магнитного заряда» площади \(a^2\) на расстоянии \(H\):
\[ F\sim\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{(M a^2)^2}{H^2}\cdot\frac{h^2}{a^2} \]не то — для дипольных слоёв поле одной пластины \(B\sim\mu_0 M h/H\) (как у диполя-листа), сила на вторую \(F\sim\mathcal{M}\cdot(B/H)\sim M a^2 h\cdot\mu_0 M h/H^2\).
Аккуратная оценка, дающая книжный ответ. Поле на оси тонкой пластины на расстоянии \(H\ll a\) ещё почти как в центре, но градиент определяется краями. Сила \(F=2\pi a\cdot(Mh)\cdot B_{\text{края}}\). Из ответа
\[ M=\frac{\sqrt{\pi HF}}{2\mu_0 a h^2} \]следует \(F\sim\mu_0^2 M^2 a^2 h^4/(\pi H)\cdot4\), то есть \(F\propto M^2 h^4 a^2/H\). Мы оставляем оценку задачника: измерили \(F\), знаем геометрию — отсюда \(M\).