По поверхности полубесконечного кругового цилиндра радиуса \(R\) течёт поперечный ток линейной плотности \(i\).
а. Определите составляющую индукции вдоль оси цилиндра в крайнем сечении \(AA'\).
б. Как зависит индукция на оси от расстояний \(x_1\) и \(x_2\) до конца цилиндра? Чему она равна вдали от цилиндра?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Бесконечный соленоид (цилиндр с поперечным током \(i\)) имеет внутри \(B=\mu_0 i\), снаружи 0. Полубесконечный — половина. В крайнем сечении \(AA'\) по симметрии (отражённая половина достроила бы бесконечный) поле вдоль оси
\[ B_\parallel=\frac{\mu_0 i}{2}. \]Это верно не только на оси, но и по всему торцевому сечению: касательная компонента непрерывна, а отражение меняет «внутри/снаружи».
б. На оси на расстоянии \(x\) от торца телесный угол, под которым видна «юбка» цилиндра,
\[ \Omega=2\pi\Bigl(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\Bigr) \]с одной стороны. Формула 9.3.7 даёт
\[ B=\frac12\mu_0 i\Bigl(1\mp\frac{1}{\sqrt{1+(R/x)^2}}\Bigr), \]минус снаружи, плюс внутри (или наоборот в зависимости от знака \(x\)). Вдали внутри (\(x\to-\infty\)) \(B\to\mu_0 i\); вдали снаружи \(B\sim\mu_0 i(R/x)^2/4\) — как диполь (торцевые «магнитные заряды»).