Какую силу натяжения вызывает в витках длинного соленоида ток \(I\)? Число витков на единицу длины \(n\), радиус \(R\).
К задаче 9.3.9. Длинный соленоид: виток растягивается, натяжение \(T\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Виток соленоида сидит в поле остальных витков \(B\approx\mu_0 nI\). Сила Ампера растягивает виток радиально, натяжение проволоки держит эту нагрузку — как в 9.1.15.
Длинный соленоид, \(n\) витков на единицу длины, ток \(I\), радиус \(R\). Поле внутри \(\mu_0 nI\), снаружи нуль. Виток на поверхности «чувствует» среднее поле \(B=\mu_0 nI/2\) (половина — его собственная, на него не действует; действует поле остальных витков).
На элемент \(\mathrm{d}l\) сила наружу \(\mathrm{d}F=I\,\mathrm{d}l\cdot(\mu_0 nI/2)\). Натяжение \(T\) из баланса полукольца \(2T=I\cdot 2R\cdot B\):
\[ T=IR\cdot\frac{\mu_0 nI}{2}=\frac{\mu_0 n R I^2}{2}. \]
Это сила, с которой растянута проволока витка. Если витки уложены вплотную, можно пересчитать на напряжение в материале.
Проверка. Размерность: \(\mu_0 n R I^2=(\text{Гн/м})\cdot\text{м}^{-1}\cdot\text{м}\cdot\text{А}^2=\text{Н}\). При \(I=0\) натяжения нет. Большой радиус — больше плечо, сильнее растяжение. Сравните с 9.1.15: там \(T=IRB_{\text{внеш}}\), здесь \(B_{\text{внеш}}=\mu_0 nI/2\).